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趣談無理數(shù)e(十七)?掀開蒙在上帝公式e^(πi) ?1=0頭上的神秘面紗

趣談無理數(shù)e
原創(chuàng)
1981年數(shù)學專業(yè)研究生畢業(yè),職稱教授數(shù)學科普文章
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高俊科趣談無理數(shù)e(十七)

十七 掀開蒙在上帝公式e^(πi) +1=0頭上的神秘面紗

不少書中都講到復數(shù)域中的歐拉公式,如以色列人的著作《一個常數(shù)的傳奇》、日本人的著作《數(shù)學與生活》、中國人的著作《不可思議的e》等數(shù)學書中都講了歐拉公式e^(πi) +1=0,這個公式把五個最特殊的數(shù)0、1、i、π、e連在一起,讓它們共處于等式e^(iπ) +1=0中。以色列人伊萊.馬奧爾在其著作《一個常數(shù)的傳奇》中評論說,“很多人認為它具有不亞于神的力量”,美國數(shù)學家本杰明..皮爾斯說”這個公式是絕對正確的,也是絕對詭異的,我們能夠證明它,但不能理解它”。由此這公式也被稱為上帝公式。

在實數(shù)域中,對于余弦函數(shù)cost,通過圖示我們能觀察得出cosπ=–1,這就有cosπ +1=0,這就是余弦函數(shù)把三個特殊的數(shù)0、1、π共處一式了,沒有誰會感覺到這樣讓0,1,π共處一個等式cosπ +1=0神秘,也不會想到再用什么其它方法證明cosπ +1=0這一恒等式。

在復數(shù)域中,對于歐拉恒等式e^(iπ)+ 1=0也應該是一樣的。

在復數(shù)域中,對于指數(shù)函數(shù)e^(it),通過圖示我們能直接得e^(iπ)=–1 ,這就有e^(iπ) +1=0,這就是指數(shù)函數(shù)e^(it)把五個特殊的數(shù)0、1、i、π、e共處一式e^(iπ) +1=0了,這就不需要再用什么其它方法進行證明。

接下來我們來看對于指數(shù)函數(shù)z(t)=e^(it)怎么看到e^(iπ)=–1.

在復平面上,函數(shù)z(t)=e^(it)隨t變化的軌跡是一條曲線,z(t)=e^(it)的導數(shù)是dz(t)/dt=ie^(it)=iz(t), 在曲線上任何一點,iz(t)表達的是動點z(t)的運動方向與矢徑本身z(t)總保持反時針方向垂直,所以z(t)軌跡是一個圓。因為z(0)=1,所以z(t)的軌跡是一單位圓 。

dz(t)/dt的方向是z(t)的運動方 向,絕對值Idz(t)/dtI是動點z(t)的線速度,Idz(t)/dtI=1,在單位圓上,z(t)路徑的長度與經(jīng)過這路徑時t的數(shù)量恒相等,t從0變化到π,z(t)在單位圓上的路徑,或說弧長也就是π,在單位圓上從z(0)=1反時針方向經(jīng)過弧長π,就是-1,即z(π)=e^(iπ)=-1,這就得到了復平面上的歐拉公式

e^(iπ) +1=0

這就讓數(shù)字0、1、i.π、e共處于一個等式中了,這所謂上帝公式?jīng)]有一點神秘之處,這就揭下了披在這上帝公式頭上的神秘面紗?

在單位圓上,z(t)路徑的長度與經(jīng)過這路徑時t恒相等,單位圓上弧與其所對的角度數(shù)(弧度)總相等,所以,z(t)=e^(it) 中t也就恒等于這動點z(t)轉(zhuǎn)過的角度。

如果自變量t從0開始有改變量x,則x也是動點z(t)=e^(it) 轉(zhuǎn)過的角度數(shù),對應的終點就是cosx +isinx 即 z(x)=e^(ix) 與cosx+ isinx是復平面上的同一個點 ,因此,恒有

e^(ix)=cosx+ isinx

成立。

評論
莫非123
太師級
在復平面上,自變量t的取值變化畫不出來,dz(t)/dt可為是單位圓上任意一點處,逆時針,與半徑等長的切線矢量。
2022-01-12
楊莉楠
學士級
已讀
2022-01-12
飛馬騰空
太師級
2022-01-21