趣談無理數(shù)e(十七)?掀開蒙在上帝公式e^(πi) ?1=0頭上的神秘面紗

高俊科趣談無理數(shù)e(十七)

十七 掀開蒙在上帝公式e^(πi) ＋1=0頭上的神秘面紗

不少書中都講到復數(shù)域中的歐拉公式，如以色列人的著作《一個常數(shù)的傳奇》、日本人的著作《數(shù)學與生活》、中國人的著作《不可思議的e》等數(shù)學書中都講了歐拉公式e^(πi) ＋1=0，這個公式把五個最特殊的數(shù)0、1、i、π、e連在一起，讓它們共處于等式e^(iπ) ＋1=0中。以色列人伊萊.馬奧爾在其著作《一個常數(shù)的傳奇》中評論說，“很多人認為它具有不亞于神的力量”，美國數(shù)學家本杰明..皮爾斯說”這個公式是絕對正確的，也是絕對詭異的，我們能夠證明它，但不能理解它”。由此這公式也被稱為上帝公式。

在實數(shù)域中，對于余弦函數(shù)cost，通過圖示我們能觀察得出cosπ=–1，這就有cosπ ＋1=0，這就是余弦函數(shù)把三個特殊的數(shù)0、1、π共處一式了，沒有誰會感覺到這樣讓0，1，π共處一個等式cosπ ＋1=0神秘，也不會想到再用什么其它方法證明cosπ ＋1=0這一恒等式。

在復數(shù)域中，對于歐拉恒等式e^(iπ)＋ 1=0也應該是一樣的。

在復數(shù)域中，對于指數(shù)函數(shù)e^(it)，通過圖示我們能直接得e^(iπ)=–1 ，這就有e^(iπ) ＋1=0，這就是指數(shù)函數(shù)e^(it)把五個特殊的數(shù)0、1、i、π、e共處一式e^(iπ) ＋1=0了，這就不需要再用什么其它方法進行證明。

接下來我們來看對于指數(shù)函數(shù)z(t)=e^(it)怎么看到e^(iπ)=–1.

在復平面上，函數(shù)z(t)=e^(it)隨t變化的軌跡是一條曲線，z(t)=e^(it)的導數(shù)是dz(t)/dt=ie^(it)=iz(t), 在曲線上任何一點，iz(t)表達的是動點z(t)的運動方向與矢徑本身z(t)總保持反時針方向垂直，所以z(t)軌跡是一個圓。因為z(0)=1，所以z(t)的軌跡是一單位圓 。

dz(t)/dt的方向是z(t)的運動方 向，絕對值Idz(t)/dtI是動點z(t)的線速度，Idz(t)/dtI=1，在單位圓上，z(t)路徑的長度與經(jīng)過這路徑時t的數(shù)量恒相等，t從0變化到π，z(t)在單位圓上的路徑，或說弧長也就是π，在單位圓上從z(0)=1反時針方向經(jīng)過弧長π，就是-1，即z(π)=e^(iπ)=-1，這就得到了復平面上的歐拉公式

e^(iπ) ＋1=0

這就讓數(shù)字0、1、i.π、e共處于一個等式中了，這所謂上帝公式?jīng)]有一點神秘之處,這就揭下了披在這上帝公式頭上的神秘面紗？

在單位圓上，z(t)路徑的長度與經(jīng)過這路徑時t恒相等，單位圓上弧與其所對的角度數(shù)(弧度)總相等，所以，z(t)=e^(it) 中t也就恒等于這動點z(t)轉(zhuǎn)過的角度。

如果自變量t從0開始有改變量x，則x也是動點z(t)=e^(it) 轉(zhuǎn)過的角度數(shù)，對應的終點就是cosx ＋isinx 即 z(x)=e^(ix) 與cosx＋ isinx是復平面上的同一個點 ，因此，恒有

e^(ix)=cosx＋ isinx

成立。