埃爾德什追憶烏拉姆：他是神童，也是神叟

斯塔尼斯拉夫·烏拉姆（Stanis?aw Ulam，1909-1984）是著名波蘭裔美國數(shù)學(xué)家、核物理學(xué)家與計(jì)算機(jī)科學(xué)家。他參加了曼哈頓計(jì)劃，氫彈的Teller-Ulam構(gòu)型就得名于他與愛德華·特勒（Edward Teller）。烏拉姆去世后，他的一生好友，著名數(shù)學(xué)家埃爾德什（Paul Erd?s，1913-1996）于1985年發(fā)表了這篇滿含真摯回憶的紀(jì)念文章，特別介紹了他們共同完成的一些工作。

撰文 | Paul Erd?s

翻譯 | 張和持

首先作一個(gè)簡要介紹。在長達(dá)五十年的歲月中，烏拉姆都一直是我的朋友與合作者。我與他進(jìn)行過不計(jì)其數(shù)的關(guān)于數(shù)學(xué)和政治的討論，也共同撰寫了很多論文。我將在本文中側(cè)重于我們合作的研究，而忽略他在物理、生物、計(jì)算機(jī)與計(jì)算機(jī)科學(xué)方面的工作。

烏拉姆曾經(jīng)寫過一篇非常出色的自傳**[7]**，而我想講的這幾件事，印象中并沒有在他的自傳中提及。希望我的記述能盡量準(zhǔn)確。

我第一次見到烏拉姆是在1935年英國劍橋，第二次則是1938-1939年在美國馬薩諸塞州的劍橋，他那時(shí)是哈佛大學(xué)學(xué)會(huì)的會(huì)員。不過我們真正開始數(shù)學(xué)交流是在1941-1943年間，我兩次前往威斯康辛大學(xué)拜訪他，在此期間我們得到了第一項(xiàng)共同研究成果。此后的1946年我又去圣達(dá)菲和洛杉磯拜訪了他。他那時(shí)生了重病，有可能是腦炎（這幾乎是他唯一次生病，那之后直到他因心臟病發(fā)作離世，他的身體都非常健康）。他出院后在洛杉磯南部的一個(gè)島上療養(yǎng)，我也前去探望了（這整件事都在他的自傳中有所提及）。之后我又到洛斯阿拉莫斯見了他幾次，最后一次是在1952年。

1963年在美國科羅拉多州博爾德（Boulder）舉辦了一場數(shù)論會(huì)議，我們又在那里見了面。隨后我們一起訪問了阿斯彭（Aspen）。有一次我正在他家，他接到白宮打來的電話，詢問他有關(guān)禁止核試驗(yàn)條約的建議——烏拉姆對(duì)此強(qiáng)烈支持。然后在1968年和1970年，我作為訪問教授在科羅拉多大學(xué)和他撰寫了我們的第一篇合作論文，內(nèi)容是加性數(shù)論與集合論。1970年的那次，我九十歲高齡的母親也跟我在一起，烏拉姆的夫人Fran?oise為我母親寫了一篇短文。到了70年代末，我們經(jīng)常一同待在佛羅里達(dá)大學(xué)。我本來還打算繼續(xù)我們的研究，卻意外得知他在1984年5月死于冠心病發(fā)作。

烏拉姆絕頂聰明，他既是一個(gè)神童，也是一個(gè)“神叟”（譯者注：原文為dotigy，對(duì)應(yīng)于神童的prodigy）。神叟這個(gè)詞是烏拉姆自創(chuàng)的，在任何字典里都查不到。我曾經(jīng)就神童的話題做過一次演講，烏拉姆則評(píng)論說我們兩人其實(shí)都是“神叟”，意思是說我們兩個(gè)老頭到了古稀之年（dotage）卻仍然能“證明定理，提出猜想”?；蛟S這是對(duì)一個(gè)人的命運(yùn)美好祝福的悲傷注腳，我們對(duì)一個(gè)嬰兒寄予最熱切的期盼是，愿你“生來是個(gè)神童，老去是個(gè)神叟”。

烏拉姆毫無疑問是一位神童，他在20歲之前就證明，在任何無窮集合上都存在一個(gè)二值測度（2-valued measure，即任何可測集的測度都是 0或者1），使得整個(gè)集合的測度為 1 ，任何單點(diǎn)的測度為 0 ，并且測度有限可加。Alfred Tarski （1901-1983）在幾個(gè)月后獨(dú)立發(fā)現(xiàn)這一定理。最近我發(fā)現(xiàn)Frigyes Riesz在20年前就預(yù)測了這一事實(shí)，他于1908年在羅馬的國際數(shù)學(xué)家大會(huì)上作了證明。

在我看來，這是現(xiàn)代數(shù)學(xué)中最重要的發(fā)展之一，而這項(xiàng)發(fā)展的第二個(gè)起點(diǎn)則是我和Tarski的合作論文**[4, 5]**，這篇論文繼承并發(fā)展了Tarski的早期研究，對(duì)此我深感榮幸。請讀者們?nèi)菰S我再插入幾句回憶。我曾經(jīng)錯(cuò)誤地以為第一個(gè)不可達(dá)基數(shù)或許是可測的。在1957年，András Hajnal（1931-2016）和我一起證明了一個(gè)定理，從中可以輕易推出第一個(gè)以及其他很多個(gè)不可達(dá)基數(shù)上不存在可數(shù)可加測度。Hajnal直到Hanf-Tarski和Kiesler-Tarski這兩項(xiàng)成果問世之后才意識(shí)到這一點(diǎn)。不過恐怕責(zé)任還是出在我身上，正如 Hanjnal 所說，“我只是個(gè)年輕人。我怎么可能去懷疑，反駁‘pgom’（poor great old man；譯者注：可憐的偉大老頭，指Erd?s。Erd?s喜歡在自己的簽名后面加上這個(gè)簡稱）。”即便是很久以前的事了，那時(shí)的我也已經(jīng)步入了老年。事實(shí)上，Hajnal也講到，那次疏忽的結(jié)果，是Hanf-Kiesler-Tarski證明中的洞見遠(yuǎn)比我們深遠(yuǎn)，他們的工作很快就推動(dòng)了大基數(shù)理論的探索性發(fā)展。要是我們率先發(fā)表了證明，或許就不會(huì)有后來那樣的快速發(fā)展了。

烏拉姆與John C. Oxtoby（1910-1991）、Barry C. Mazur （1937-）、Karol Borsuk（1905-1982）的合作研究對(duì)數(shù)學(xué)至關(guān)重要，但我并不是評(píng)價(jià)這方面工作的最佳人選。他同D. H. Hyers（1913-1997）關(guān)于泛函方程f(x+y)=f(x)+f(y)的工作也同樣非常有趣，同樣有趣的還有他與Cornelius J. Everett（1914-1987）的工作。不過既然現(xiàn)在是在為這本雜志撰稿，我應(yīng)該談一談他提出的著名的重構(gòu)猜想[Harary**[6]**中的術(shù)語叫作“重構(gòu)疾病”（reconstruction disease）]。這個(gè)方面第一個(gè)結(jié)論來自烏拉姆的學(xué)生Paul Kelly，而一般情形還遠(yuǎn)沒有解決，到今天這個(gè)領(lǐng)域也非?；钴S。烏拉姆有一個(gè)非常寬泛的元問題：如果在某種結(jié)構(gòu)中A^2 = B^2，那么A = B是否成立 ？這個(gè)問題的答案常常是否定的，但也有一些例外。這些問題催生了不少有趣的論文。

烏拉姆在洛斯阿拉莫斯的那幾年，研究了如何使用計(jì)算機(jī)解決純粹和應(yīng)用數(shù)學(xué)問題，并取得了一些重要的開拓性成果。我并不打算在這里多費(fèi)筆墨，不是因?yàn)槲艺J(rèn)為這項(xiàng)研究不重要或者無趣，只是我認(rèn)為這一部分應(yīng)該交給該領(lǐng)域的內(nèi)行來寫。我只提一下，他同合作者們一起得到了一些迭代函數(shù)中有趣、豐富又意外的猜想。關(guān)于他在“獵戶座計(jì)劃”中關(guān)于星際航行的貢獻(xiàn)，我能說的就更少了。在我印象中Freeman Dyson（1923-2020）曾在此項(xiàng)目中非?；钴S，希望他和其他人能寫得更深入一些。關(guān)于此事還有一件趣聞。烏拉姆作為計(jì)劃的發(fā)起人之一一直非常自豪，最后項(xiàng)目告吹他也深表遺憾（據(jù)我所知，早在禁止太空核爆的條約（《部分禁止核試驗(yàn)條約》）簽訂之前，該項(xiàng)目就已經(jīng)被拋棄了。烏拉姆肯定是不想違反條約，而是希望能重新進(jìn)行談判）。有一次他告訴我，他從歌德的《浮士德》中找到了一條宣傳獵戶座計(jì)劃的絕佳口號(hào)：“Und was vor uns ein alter Mann gedacht und was wir dann so herrlich weitgebracht ja bis an die Sterne weit”[“一位老者曾經(jīng)產(chǎn)生的思想，又被我們發(fā)揚(yáng)光大，是啊，遠(yuǎn)至星辰”；譯者注：浮士德原文中不是alter Mann（老人），而是weiser Mann（智者）]。烏拉姆說這里的“老者”是指愛因斯坦。我馬上糾正他，“不對(duì)，老者應(yīng)該是你，而星辰（恒星）應(yīng)該換成行星。”烏拉姆總是害怕變老，他很自豪于自己70歲還能打網(wǎng)球，甚至打得很好。他非常幸運(yùn)地躲過了兩大惡魔——老去的年齡以及衰退的智力，他在心臟衰竭中，死的毫無恐懼與疼痛，臨終之前仍能證明定理、提出猜想。

在我上次訪問佛羅里達(dá)大學(xué)時(shí)， Alexander R. Bednarek（1933-2007）給我講了一個(gè)關(guān)于烏拉姆的很棒的故事?；蛟S這個(gè)故事經(jīng)過了一定潤色，不過Marcel Riesz（1886-1969）曾告訴我，“如果你有一個(gè)好故事，就不用擔(dān)心故事到底是真是假了”，而且起碼我能肯定這個(gè)故事確有其事。幾年前弗羅茨瓦夫大學(xué)的Gladysz教授訪問了蓋恩斯維爾（即佛羅里達(dá)大學(xué)的所在地）。正好他從來沒見過烏拉姆，在Bednarek介紹他們認(rèn)識(shí)之后，兩人用波蘭語談了很久。當(dāng)烏拉姆離開之后，Gladysz問Bednarek：烏拉姆是不是那個(gè)有名的烏拉姆的兒子？Bednarek覺得不好意思而沒有告知真相，但他覺得烏拉姆聽了一定會(huì)很高興，便把這個(gè)故事告訴了烏拉姆。Bednarek告訴我，第二天幾乎所有的數(shù)學(xué)家都知道了這件事。

作為一個(gè)數(shù)學(xué)家，烏拉姆不僅精于證明那些有趣又深刻的定理，他更擅長的或許是提出新穎又富有啟發(fā)性的問題與猜想。他在一些自己沒有過多涉獵的領(lǐng)域也提出了很多美妙的猜想。我打算介紹兩三個(gè)我自己熟知領(lǐng)域中的例子。Norman H. Anning（1883-1963）和我一起證明，假如x1, x2,…是平面（或En，即高維歐氏空間）中的無窮點(diǎn)集，并且兩兩之間的距離全都為整數(shù)，則這些點(diǎn)必然在同一條直線上。烏拉姆立馬就問，“是否可以有無窮多個(gè)這樣的點(diǎn)，它們并不都位于一條直線上，并且兩兩之間的所有距離都是有理數(shù)？”我回答說，“是的，Anning和我找到了這樣的例子，但歐拉早就預(yù)見到了這一點(diǎn)?！睘趵贩瘩g道，“我不相信平面中的點(diǎn)集可以處處稠密而距離又是有理數(shù)?！蔽矣X得他的猜想應(yīng)該是對(duì)的，但這個(gè)問題大概會(huì)非常深刻?！皟蓛删嚯x是有理數(shù)”這個(gè)條件對(duì)于一個(gè)無窮點(diǎn)集來說或許是非常嚴(yán)苛的，但是我們對(duì)此還一無所知。

即便烏拉姆并不是數(shù)論學(xué)家，他也發(fā)表了很多有趣的數(shù)論問題，其中不少是他在博爾德1963年的數(shù)論會(huì)議上提出的。他還與海法（以色列城市）的Eri Jabotinsky各自獨(dú)立發(fā)現(xiàn)了“幸運(yùn)數(shù)”（譯者注：幸運(yùn)數(shù)的定義類似于埃拉托斯特尼篩法，但每一步并非移除素?cái)?shù)的整數(shù)倍，而是移除某些特定位置的素?cái)?shù)。這樣得到的數(shù)擁有很多類似素?cái)?shù)的性質(zhì)）。

在70和80年代，我和烏拉姆經(jīng)常一起在佛羅里達(dá)大學(xué)，我們發(fā)表了許多關(guān)于組合學(xué)與集合論的文章。這里我只打算提一下，烏拉姆提出的某一個(gè)問題引出了很多圖論中的問題與結(jié)論。

以下這個(gè)問題是我們五個(gè)作者最先在一篇論文中提出的**[2]**：令 G(n) 和 G'(n) 為兩個(gè)擁有 n 個(gè)頂點(diǎn)的圖，e(G) 為 G 的邊數(shù)。我們假設(shè) e(G) = e(G') 。所謂 U-分解（decomposition）是指把邊的集合分割為形如

并使得所有的圖和 都同構(gòu)。如果 G 和 G' 的邊數(shù)相同，那么上述分解一定存在。定義 U(G, G') 為最小的使 U 分解存在的 n 。令

我們證明了

在此問題以及相關(guān)話題上我們還發(fā)表了很多論文。這個(gè)問題可以推廣到超圖上，其研究至今仍然活躍。

我們希望還能有更多有趣的新發(fā)展。金芳蓉（Fan-Rong，1949-）和我最近才在這個(gè)方向上完成了一篇論文。

烏拉姆是我五十年的好友與合作者，顯然從今往后，科學(xué)和社會(huì)，特別是數(shù)學(xué)世界將不再和從前一樣了。

在《一千零一夜》的故事中，國王受到了“國王啊，愿你永垂不朽”的致敬。對(duì)數(shù)學(xué)家和科學(xué)家的致敬或許可以更現(xiàn)實(shí)一點(diǎn)：“數(shù)學(xué)家啊，愿你的定理永垂不朽?！蔽易Ｔ?，也期盼斯坦（譯者注：烏拉姆的昵稱）的定理也能有這樣的命運(yùn)。

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