幾乎每個籃球運動員、教練或球迷都認(rèn)為，球員身上有一種不可思議的熱手效應(yīng)，一旦球員手感來了，投籃如有神助。然而長久以來，學(xué)界認(rèn)為這就是一種巨大而普遍的認(rèn)知錯覺。直到近幾年，新研究提供了強有力的證據(jù)，來支持熱手效應(yīng)的存在。
撰文 | 嘉偉
圖源: Unsplash/CC0 Public Domain
Go with the hot hand.
——籃球愛好者的一句口頭禪
在返樸3月的文章《那個曾經(jīng)隨時可能失明的少年，剛剛獲得數(shù)學(xué)界最高榮譽》中，有一道用于展示概率是如何反直覺的思考題：
假設(shè)稍后要擲硬幣100 次——可以給出一系列正面（H）和反面（T）的序列。
現(xiàn)在你有選擇權(quán)，可以選擇積分規(guī)則。
規(guī)則A：對于序列中的每個HH，你都會得到一分；對于每個HT，對手都會得一分。
規(guī)則B：反過來，對于序列中的每個HH，對手都會得到一分；對于每個HT，則你得一分。
比如說序列片段HHHT，按A規(guī)則就是你得2分，對手1分。
問：為了積分高于對手，你應(yīng)該選擇哪條規(guī)則？又或者說，兩條規(guī)則的獲勝概率是一樣的？
在文末，筆者指出答案是B。因為HH和HT的數(shù)學(xué)期望雖然是一樣的，但是得分分布不同。此時前者過于集中（3個H得2分），導(dǎo)致它的勝率變低。
從各平臺的評論區(qū)反饋來看，很多讀者朋友對這個結(jié)果抱持懷疑的態(tài)度。這其實是可以理解的。
3月18日，多倫多大學(xué)的數(shù)學(xué)系助理教授丹尼爾·利特（Daniel Litt）在社交平臺X（原twitter）上發(fā)布了一則投票貼，其內(nèi)容正是上面那個問題。在短短2天的時間里，這個投票獲得了百萬瀏覽和近500的轉(zhuǎn)評。要知道，丹尼爾并不是什么網(wǎng)紅，他平時會和一些數(shù)學(xué)愛好者或同行互動，分享一些相對硬核的數(shù)學(xué)內(nèi)容——也就是絕大多數(shù)網(wǎng)友絲毫不想看的內(nèi)容。所以，他的帖子通常只有個位數(shù)的轉(zhuǎn)評，而這一貼的熱度之高完全出人意料。
在參與轉(zhuǎn)發(fā)和討論的人中，有圖靈獎得主楊立昆（Yann LeCun），金融概率科學(xué)暢銷書《黑天鵝》的作者納西姆·尼古拉斯·塔勒布（Nassim Nicholas Taleb）等知名學(xué)者。很多人都給出了自己的分析。
24小時后投票人數(shù)已達5萬，雖然僅有10%的人答對。
多倫多大學(xué)數(shù)學(xué)系助理教授Daniel Litt發(fā)起的概率問題投票截圖|圖源：littmath@twitter.com。
我們當(dāng)然可以為這個概率問題奉上嚴(yán)密的數(shù)學(xué)論證，但恐怕這也不是大多數(shù)讀者“想看”的內(nèi)容。況且，如此埋沒這個問題的現(xiàn)實背景，實在是大煞風(fēng)景！畢竟，用NBA和NCAA賽場上球員的狀態(tài)來理解數(shù)學(xué)模型，要形象具體得多，也更有趣。
《黑天鵝》的作者納西姆·尼古拉斯·塔勒布編程模擬硬幣投擲結(jié)果|圖源：nntaleb @twitter.com
“瘋狂三月”和熱手效應(yīng)
4月9日，NCAA“瘋狂三月”全美錦標(biāo)賽決賽，康涅狄格大學(xué)以75:60大勝普渡大學(xué)?？的腋翊髮W(xué)的籃球校隊6次打入NCAA決賽，6次奪冠！
NCAA（全國大學(xué)體育協(xié)會）是由美國和加拿大一千多所大學(xué)院校參與的體育運動協(xié)會。它舉辦各種體育項目的聯(lián)賽，包括籃球、橄欖球、棒球、冰球、田徑、體操、摔跤等。其中，最受關(guān)注的是NCAA男子籃球一級錦標(biāo)賽，這項賽事每年3月舉行，通常稱為“瘋狂三月”。該賽事吸引了大量觀眾和運動員，成為美國大學(xué)生最重要的盛會之一。包括NBA在內(nèi)的賽事直播，都會避開瘋狂三月里的重要賽事。國內(nèi)也有非常多的球迷每年追看這一賽事。
許多球迷一定還記得斯蒂芬·庫里（Stephen Curry）在2008年NCAA上的超人表現(xiàn)：他帶領(lǐng)弱旅戴維森學(xué)院（Davidson College）取得勝利，同時在下半場幾乎以一己之力擊敗了強大的岡薩加（Gonzaga）隊。成就年輕庫里的，是他的技術(shù)、運氣，還是那天他有什么特別之處？
幾乎每個籃球運動員、教練或球迷都認(rèn)為，一些球員有一種不可思議的熱手效應(yīng)（hot-hand effect）——有人認(rèn)為那就是現(xiàn)在更為出名的ZONE狀態(tài)或心流狀態(tài)。
熱手，基本上是說，球員會進入一種特殊的狀態(tài)；在這種狀態(tài)下，他們的個人球技和視野達到頂峰，投籃如有神助。歷史上像克雷格·霍奇斯（Craig Hodges）連續(xù)命中19個三分球，或已成為金州勇士隊控球后衛(wèi)的斯蒂芬·庫里在練習(xí)中連續(xù)投中105個三分球，籃球評論員通常會將其歸因于“手感來了”，“手熱起來了”。
用一些NBA球員的說法：你意識到，你的身體是協(xié)調(diào)的，你的思想是專注的，你情緒是自信的——因此成功是不可避免的，把球投入籃筐，簡直毫不費力。
然而，甚至就在NCAA的官方網(wǎng)站上，長久以來對熱手效應(yīng)的解釋是：并不存在。那只是一種錯覺，因為我們作為人類有一種把隨機性片段當(dāng)作是內(nèi)在模式的傾向。事實上，在過去的30年里，研究行為和決策的科學(xué)家一直持有這種觀點。
不久前剛剛?cè)ナ赖闹Z貝爾經(jīng)濟學(xué)獎得主丹尼爾·卡尼曼（Daniel Kahneman）曾直言：“熱手效應(yīng)是一種巨大而普遍的認(rèn)知錯覺?！?/p>
丹尼爾·卡尼曼被譽為行為經(jīng)濟學(xué)之父，他的暢銷著作《思考，快與慢》是引領(lǐng)無數(shù)人反思自身的決策方法和思考方式的啟蒙讀物。像卡尼曼這樣聲名卓著的學(xué)者絕非信口開河之人，他的論斷來自心理學(xué)家托馬斯·吉洛維奇（Thomas Gilovich）、羅伯特·瓦隆（Robert Vallone）和阿莫斯·特沃斯基（Amos Tversky）在1985年發(fā)表的具有里程碑意義的論文《籃球賽中的熱手：關(guān)于隨機序列的誤解》[1]。這篇論文有時以三位作者的姓氏首字母GVT指代。
在研究NCAA歷史上投籃數(shù)據(jù)時，GVT發(fā)現(xiàn)，投籃命中和未中的出現(xiàn)次序與反復(fù)擲硬幣看到的正面和反面的順序是無法區(qū)分的。
就像賭徒在擲硬幣時偶爾會出現(xiàn)連續(xù)的正面一樣，籃球運動員在投籃時也會偶爾連中。GVT得出的結(jié)論是，熱手是一種“認(rèn)知錯覺”；人們傾向于在隨機性中“識別出”規(guī)律，將完全典型的隨機現(xiàn)象視為非隨機現(xiàn)象。
從此，學(xué)術(shù)界將熱手效應(yīng)定性為“熱手謬誤”。
更重要的是，GVT發(fā)現(xiàn)，職業(yè)從業(yè)者（NBA球員和教練）不僅是認(rèn)知錯覺的受害者，而且他們對熱手的信念是頑固的。在NBA的關(guān)鍵比賽里，教練和球員傾向于把投球機會讓給看起來手熱的球員。
GVT的結(jié)果對心理學(xué)家和經(jīng)濟學(xué)家如何思考信息決策產(chǎn)生了深遠的影響。隨著GVT的結(jié)果被外推到籃球以外的領(lǐng)域，熱手謬誤成為一種文化模因。從金融投資到電子競技，均有所反映。
但，真的如此么？
NBA球員的場上表現(xiàn)與條件概率
無論科學(xué)家如何說，大多數(shù)籃球球迷一直相信熱手效應(yīng)，這甚至反映在《NBA嘉年華》（NBA Jam）等電子游戲中。在游戲里，如果玩家控制球員連續(xù)多次投籃入筐，球上就會帶著火焰。
當(dāng)俱樂部雇傭的運動科學(xué)顧問向球員和教練講解GVT的研究結(jié)論時，很多球員都選擇無視。波士頓凱爾特人隊傳奇教練、“紅衣主教”阿諾德·雅各布·奧爾巴赫（Red Auerbach）有句名言：“這個人（GVT）是誰？他做了個研究，但我不在乎。”
學(xué)術(shù)界的反對意見同樣強烈，但特沃斯基和吉洛維奇成功地捍衛(wèi)了他們的論點，同時指出了反對他們的論文里所存在的嚴(yán)重缺陷。所以，之后雖仍存在一些孤立的質(zhì)疑者，但GVT的結(jié)果已被當(dāng)作是科學(xué)界（但非籃球界）的共識。
這種情況直到2017年才發(fā)生了變化，當(dāng)時一篇開創(chuàng)性的論文[2]顯示，GVT的經(jīng)典研究——以及后來基于它的研究——存在小而顯著的選擇偏差，從而影響了統(tǒng)計結(jié)果。基本上，研究團隊在尋找連勝或熱手現(xiàn)象時選擇樣本的方式使他們的數(shù)學(xué)模型無效。當(dāng)研究人員考慮把偏差納入計算時，熱手效應(yīng)就應(yīng)該是存在的。當(dāng)球員變得炙手可“熱”時，他們是場上不可忽視的力量。
兩名信息科學(xué)、運營和決策技術(shù)領(lǐng)域的研究員——博科尼大學(xué)（Bocconi University）決策科學(xué)系副教授約書亞·米勒（Joshua Miller）和阿利坎特大學(xué)（The University of Alicante）經(jīng)濟學(xué)副教授亞當(dāng)·桑朱爾喬（Adam Sanjurjo）重新審視了GVT的概率模型，發(fā)現(xiàn)后者做了一個隱含的假設(shè)，即如果每個球員的100次投籃結(jié)果的序列是由擲硬幣決定的，則他們連續(xù)得分能力的統(tǒng)計數(shù)據(jù)也必然遵循同樣的分布。
令人驚訝的是，這種直覺上顯然的預(yù)設(shè)前提是不正確的。注意，就是在這里，籃球比賽和卷首那個概率問題聯(lián)系到了一起！
米勒和桑朱爾喬認(rèn)為，為熱手效應(yīng)構(gòu)建數(shù)學(xué)模型，對應(yīng)的不僅是隨機投擲硬幣得到的正（H，對應(yīng)投籃命中）、反（T，對應(yīng)投籃未中）序列，還要考慮正正（HH，連續(xù)得分，有手熱征兆）和正反（HT，得分后再投未中）。然而就像筆者一直在強調(diào)的，HH和HT的概率雖然是相同的，但前者出現(xiàn)的時候更加集中！這一事實導(dǎo)致GVT的論證失效了。
完整的論證可以在參考文獻[2]中找到，該論文可在線獲取。在這里的推理應(yīng)用了所謂的限制選擇原則，該原則出現(xiàn)在橋牌中，并且是新信息更新信念的標(biāo)準(zhǔn)數(shù)學(xué)程序——即貝葉斯推理——背后的直覺理念。米勒兩人的結(jié)果與各種概率謎題和統(tǒng)計偏差聯(lián)系起來，問題的最簡單版本幾乎等同于著名的蒙提霍爾三門問題（Monty Hall problem），后者曾難倒了著名的數(shù)學(xué)家保羅·埃爾德什（Paul Erd?s）和許多其他聰明人。
本文的目的恰好與米勒和桑朱爾喬兩人的目標(biāo)相悖。他們兩人當(dāng)初是為熱手效應(yīng)尋找一個數(shù)學(xué)模型，而我們則是為了解答最開始的思考題，為數(shù)學(xué)模型尋找一個可以直觀理解它的現(xiàn)實場景！所以，我們現(xiàn)在就可以用NBA球星的表現(xiàn)來解讀原始問題的答案為何是B。
如果一個NBA球員狀態(tài)起伏不定，手熱的時候（隨機手熱，無法控制）一場可以砍下80分，但是手不熱時，得分就變成了個位數(shù)；同時他的隊友的場均得分和他相當(dāng)，但是每場得分的上下波動在5分以內(nèi)，那么實際上他對隊伍貢獻不如每場得分更均勻的隊友。
原題里的規(guī)則A，就是一個運氣好的時候可以拿到極高分的“選手”。這個選手在某幾場比賽里，以高比分碾壓對手，但如果只看平均得分的話，他和對手得分相當(dāng)，而對手每次獲勝又都是以微弱優(yōu)勢勝出，那就說明一個“賽季”下來，規(guī)則A輸多贏少。
所以，選擇規(guī)則A，獲勝的時候有高幾率是大比分獲勝，拿到了70或80分，但是實際上只要拿到50分就足夠了。更多的得分相當(dāng)于浪費掉了。選擇規(guī)則B，最高也僅僅是50分，所以規(guī)則B每次獲勝的時候，得分更加均勻。反復(fù)玩這個游戲（每次游戲投擲100次硬幣），選B獲勝的次數(shù)會更多。
極客網(wǎng)站煎蛋網(wǎng)的ID為vevan的網(wǎng)友在CodePen在線社區(qū)上分享了用于模擬這個問題的代碼段[5]，每次運行模擬10萬次游戲?？梢钥吹剑琀H勝出46k次左右，HT勝出48k左右。規(guī)則B略占優(yōu)。
米勒也參與了對原題的討論，并給出了一個直觀解釋。| 圖源：jben0@twitter.com
熱手效應(yīng)的影響
對熱手效應(yīng)的研究，不僅僅關(guān)乎NBA和籃球比賽本身——雖然NBA也是價值百億美元的大生意——它還關(guān)乎信息行為決策以及統(tǒng)計學(xué)工具在現(xiàn)實世界里的正確應(yīng)用。
康涅狄格大學(xué)的經(jīng)濟學(xué)副教授雷米·萊文（Remy Levin）對米勒和桑朱爾喬的這篇論文評價極高：“非常精彩，是我每年在行為學(xué)教學(xué)中最喜歡講授的內(nèi)容之一。超級有趣、反直覺的有限樣本結(jié)果，對條件概率的測量實踐有重大影響。同時，這也是我最喜歡的科學(xué)成果之一?！?/p>
現(xiàn)在讓我們回到GVT的數(shù)據(jù)。GVT將投籃分為連續(xù)三次（或更多）得分和連續(xù)三次（或更多）投籃未中，并比較了各類數(shù)據(jù)的分布。由于米勒兩人指出了一個令人驚訝的數(shù)學(xué)結(jié)論（也是我們的思考題?。?，他們發(fā)現(xiàn)，歷史數(shù)據(jù)里連續(xù)投籃得分后，下一投也能得分的概率比人們預(yù)期的高出11個百分點！
在連續(xù)命中時，投籃準(zhǔn)確率相對提升11個百分點是不容忽視的。事實上，這大致等于NBA中平均得分手和最佳三分射手之間的投籃命中率差異。因此，與最初發(fā)現(xiàn)的結(jié)果相比，GVT的數(shù)據(jù)揭示了實質(zhì)性的、具有統(tǒng)計學(xué)意義的熱手效應(yīng)！
更重要的是，支持熱手效應(yīng)的證據(jù)并不唯一。事實上，在最近的研究中，我們發(fā)現(xiàn)這種效應(yīng)在NBA三分球大賽中以及在其他對照研究中得到了體現(xiàn)。其他研究人員使用罰球和比賽數(shù)據(jù)進一步佐證了這一點。此外，由于另一個被稱為“測量誤差”的微妙統(tǒng)計問題，熱手效應(yīng)很有可能比我們估計的更重要。
熱手效應(yīng)背后的機制無疑是十分復(fù)雜的。有研究發(fā)現(xiàn)，類似于安慰劑效應(yīng)，如果球員自己不相信熱手效應(yīng)，則他就難以獲得超出平時的手感。
2022年的研究[3]進一步指出，手熱并不意味著球員可以突然從球場上的任何地方投籃。對NBA的球員來說，手熱看起來就像是在比賽中發(fā)現(xiàn)了一個可以利用的漏洞——可能是一個更矮的球員在防守他們——并通過采取更多某種類型的投籃來利用漏洞。
雖然這個假設(shè)是合理的，但它可能也不是導(dǎo)致手熱的唯一因素。短期神經(jīng)可塑性——玩家大腦快速適應(yīng)游戲條件的能力——會是一個原因嗎？專注力和心理準(zhǔn)備呢？不管是什么原因，現(xiàn)有研究提供了強有力的證據(jù)來支持熱手效應(yīng)的存在。
因此，令人驚訝的是，那些NBA球星的經(jīng)驗實際上一直都是正確的。今天，NCAA的官方網(wǎng)站已經(jīng)刪除了那個把熱手效應(yīng)歸于認(rèn)知謬誤的網(wǎng)頁。
參考資料
[1]The hot hand in basketball: On the misperception of random sequences - ScienceDirect
[2] Surprised by the Gambler's and Hot Hand Fallacies? A Truth in the Law of Small Numbers by Joshua B. Miller, Adam Sanjurjo :: SSRN
[3] The hot hand in the wild | PLOS ONE
[4]OSF Preprints | Surprised by the Hot Hand Fallacy? A Truth in the Law of Small Numbers
Momentum isn’t magic – vindicating the hot hand with the mathematics of streaks (theconversation.com)
[5] https://codepen.io/lunar-dark/pen/NWmpKpM
[6] The Hot Hand and Its Effect on the NBA: arXiv:2010.15943
本文受科普中國·星空計劃項目扶持
出品：中國科協(xié)科普部
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