千年之謎（二）楊-米爾斯方程：普羅米修斯的火種

作者：黃逸文（中國(guó)科學(xué)院數(shù)學(xué)與系統(tǒng)科學(xué)研究院）

文章來源于科學(xué)大院公眾號(hào)（ID：kexuedayuan）

“我們是什么，我們從哪里來？”這個(gè)最古老的哲學(xué)問題，數(shù)千年來一直伴隨著人類心靈的成長(zhǎng)，終于在二十世紀(jì)迎來了破譯的希望。揭開謎底的關(guān)鍵，就來自于最前沿的物理學(xué)研究。

圖1 這一哲學(xué)問題困擾了一代又一代學(xué)者（圖片來源：azquotes.com）

在此期間，無數(shù)輝煌的科技成就相繼誕生，人類開始試圖解答許多基本而迷人的問題。物理學(xué)家也終于將目光投射到曾經(jīng)屬于哲學(xué)的那片天地，并開始追問構(gòu)成我們以及宇宙萬物的基本材料是什么。

在這一極富挑戰(zhàn)的過程中，人們不得不借助于數(shù)學(xué)的工具來描述相應(yīng)的物理現(xiàn)象，并對(duì)某些數(shù)學(xué)問題的解做出相應(yīng)的假設(shè)。幸運(yùn)的是，這些假設(shè)及其推論都有著十分堅(jiān)固的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)的支持，因此，科學(xué)家們相信這些數(shù)學(xué)工具能夠?yàn)榻忉屖澜鐬楹稳绱颂峁┝钊诵欧睦碛伞Ｊ聦?shí)上，科學(xué)家用數(shù)學(xué)來解釋世界有著悠久的傳統(tǒng)。從牛頓提出三大定律開始，數(shù)學(xué)就作為最可靠、精確的工具被用以描述世界運(yùn)轉(zhuǎn)的規(guī)律，并取得了令世界矚目的成就。盡管人們?cè)谡J(rèn)識(shí)世界的前景上取得了重大的進(jìn)展，但類似世界的構(gòu)成這樣核心而基本的問題卻長(zhǎng)久以來被隱匿在人類探尋真理之路的茫茫迷霧之中。

認(rèn)識(shí)由宏觀到微觀

古希臘人認(rèn)為世界是由土、水、氣、火組成，而柏拉圖（Plato）則進(jìn)一步認(rèn)為這四種物質(zhì)是由微小的原子匯聚而成。在柏拉圖的“原子”構(gòu)想中，宇宙是以一種有序的幾何形式構(gòu)建而成，而數(shù)學(xué)就能幫助人們了解這種形式。這一思想極大地影響了后世的科學(xué)家。到了17世紀(jì)，伽利略更認(rèn)為“數(shù)學(xué)是書寫宇宙的唯一語言”。也正是這種信念，讓開普勒（Kepler）終其一生孜孜不倦地觀測(cè)星體，只為尋找出它們運(yùn)轉(zhuǎn)的規(guī)律。功夫不負(fù)有心人，開普勒在幾十年如一日的觀星數(shù)據(jù)下，終于總結(jié)出三大行星的運(yùn)轉(zhuǎn)規(guī)律。牛頓也是在開普勒的數(shù)據(jù)和三大規(guī)律的啟發(fā)之下，才提出驚世駭俗的萬有引力定律。

圖2 星體的運(yùn)轉(zhuǎn)總是帶給人們無限的遐想（圖片來源：wholeuniverse.com）

牛頓的理論在宏觀天體的預(yù)測(cè)中取得了巨大的成功。人們逐漸將這種思想推廣到微觀的領(lǐng)域。到了20世紀(jì)初，科學(xué)家普遍認(rèn)為一切物質(zhì)均是由原子組成。原子就好比微型的“太陽系”，其中的電子（行星）就是以特定的軌道繞著原子核（太陽）運(yùn)動(dòng)。然而，在隨后的20年里，這種微觀模型的假設(shè)遭到來自世界各地的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)的挑戰(zhàn)?？茖W(xué)家們被迫放棄和修正這一模型。物質(zhì)在微觀層面終于露出其最捉摸不定的一面。微觀粒子的位置和動(dòng)量無法同時(shí)被人們精確地觀測(cè)記錄。

圖3 盧瑟福的碳原子結(jié)構(gòu)模型（圖片來源：atomic.lindahall.org）

人們篤信千年的確定性理論，特別是以牛頓和愛因斯坦理論奠定的物質(zhì)運(yùn)動(dòng)規(guī)律在微觀領(lǐng)域遭遇到最無情的嘲諷和拋棄。當(dāng)“上帝開始擲骰子”，人們似乎再也無法把握世界的本質(zhì)。有鑒于此，愛因斯坦終其一生也拒絕接受這種貌似“荒謬”的學(xué)說。然而，正是這一詭異的現(xiàn)象奠定了20世紀(jì)最偉大的兩項(xiàng)科學(xué)成就之一——量子理論的誕生。在這一理論中，微觀粒子，比如電子的行為只能用概率的形式進(jìn)行描述。在任何時(shí)刻，它都會(huì)以相應(yīng)的概率出現(xiàn)在世界上任何第一個(gè)地方。

于是，在研究天文尺度的星體時(shí)，愛因斯坦的相對(duì)論占據(jù)了核心的位置；而在研究亞原子尺度的微觀世界時(shí)，量子理論則獨(dú)占鰲頭。這兩個(gè)理論都在各自的領(lǐng)域取得了卓越非凡的成功，也被相應(yīng)的物理學(xué)家視為堅(jiān)固的基石。它們?cè)诟髯缘念I(lǐng)域也相安無事。然而，當(dāng)宇宙中的超級(jí)怪獸——黑洞被發(fā)現(xiàn)后，物理學(xué)家卻面臨著非常窘迫的現(xiàn)狀。一方面，黑洞具有極高的密度和質(zhì)量，是相對(duì)論大展拳腳的地方。另一方面，黑洞又是極度的微觀存在，它必然受到量子理論的制約。遺憾的是，當(dāng)兩大最杰出的科學(xué)成就第一次交鋒時(shí)，卻在黑洞內(nèi)部得出了不可調(diào)和的矛盾！人們要么被迫放棄一個(gè)理論，要么被迫接受還有比兩大理論更基礎(chǔ)和本質(zhì)的理論。這種將兩大理論的沖突調(diào)和到一起的終極理論也因此被稱為物質(zhì)的大統(tǒng)一理論（Grand Unified Theories），也被稱為萬物理論（Theory of Everything）。終極理論被視為現(xiàn)代物理學(xué)的圣杯。

圖4 黑洞的發(fā)現(xiàn)是對(duì)量子理論的挑戰(zhàn)（圖片來源：futura-sciences.com）

邁向大統(tǒng)一理論

這一探尋的出路之一可歸結(jié)于尋找一個(gè)統(tǒng)一的框架，將自然界僅存在的四種基本力，即電磁力、引力、強(qiáng)核力與弱核力統(tǒng)一到一起。事實(shí)上，電磁力可由牛頓的基本物理學(xué)加以解釋；愛因斯坦的相對(duì)論則完美地詮釋了引力；量子理論則提供了解釋兩種核力的基礎(chǔ)。從1925年起，物理學(xué)家試圖拓展量子理論來實(shí)現(xiàn)最終的大統(tǒng)一理論。這一拓展遂發(fā)展成為“量子場(chǎng)論”。量子場(chǎng)論從誕生起，就呈現(xiàn)出關(guān)于人們認(rèn)識(shí)物質(zhì)圖景的最深刻的見解。大名鼎鼎的楊—米爾斯方程作為量子場(chǎng)論征服物質(zhì)大統(tǒng)一理論的先鋒終于在1954年閃亮登場(chǎng)。

圖5 楊振寧（1922-）和Robert Mills（1927-1999）（圖片來源：learner.org）

楊—米爾斯理論作為邁向大統(tǒng)一理論的第一步，卻衍生了一個(gè)關(guān)鍵的數(shù)學(xué)難題，即質(zhì)量缺口假設(shè)。在用楊—米爾斯理論的量子力學(xué)版本統(tǒng)一電磁力和弱力或者強(qiáng)力時(shí)遇到一個(gè)棘手的問題，即楊米爾斯方程的經(jīng)典版本描述了以光速傳播的零質(zhì)量波。然而，在量子力學(xué)中，每個(gè)粒子都可以被看作一種特殊類型的波，因此“無質(zhì)量”成為這一問題的癥結(jié)所在。特別的，核力是由非零質(zhì)量的粒子所承載。

對(duì)于弱力，人們后來通過建立電弱理論，引入希格斯場(chǎng)來避免無質(zhì)量性。隨后，關(guān)于楊—一米爾斯方程的漸進(jìn)自由的重要性質(zhì)的發(fā)現(xiàn)，則導(dǎo)出了把強(qiáng)力包含在內(nèi)的唯一的量子場(chǎng)論，這成為量子色動(dòng)力學(xué)的前身。第二道千年之謎就誕生于推導(dǎo)量子色動(dòng)力學(xué)的研究之中。人們需要證實(shí)楊—米爾斯方程的一個(gè)解，并確立解的一種特殊性質(zhì)，即質(zhì)量缺口假設(shè)，該假設(shè)需要解釋為何強(qiáng)力只能在極短的距離內(nèi)起作用。

解決楊—米爾斯方程的，不僅標(biāo)志著數(shù)學(xué)中重要的新領(lǐng)域的開始，也將提升我們對(duì)宇宙的深刻認(rèn)識(shí)。同時(shí)，質(zhì)量缺口假設(shè)的證明將把數(shù)學(xué)和物理理論推到全面的新高度，也將闡明人們尚未完全理解的自然界中最深邃的原理。