是什么讓他成為現(xiàn)代計算機之父？丨紀念馮·諾伊曼誕辰120周年

本文系馮·諾伊曼誕辰120周年紀念文章的下篇。在上篇中，著名數(shù)學家烏拉姆主要介紹了馮·諾伊曼在數(shù)學，特別是數(shù)理邏輯、集合論、希爾伯特空間和算子理論等方面的工作；而在下篇中將介紹他在理論物理、博弈論、數(shù)值計算、計算機理論以及曼哈頓計劃中的貢獻。馮·諾伊曼在如此廣泛的領域進行了深入的探索，不禁會讓人想問：他的研究是否有一條連續(xù)的脈絡？作為一名問題解決者，或許我們能從他對實際問題的處理上看到其更深遠的目標與理想，以及他為什么能成為現(xiàn)代計算機之父。

撰文 | 斯塔尼斯拉夫·烏拉姆（Stanis?aw Ulam）

翻譯 | 圓圓

理論物理

范·霍夫（Léon Van Hove）教授在《馮·諾伊曼對量子理論的貢獻》（Von Neumann's contributions to quantum theory）描述了他在理論物理方面的工作。

在之前提到的美國國家科學院的調查問卷中，馮·諾伊曼選擇了量子理論的數(shù)學基礎和遍歷定理作為他最重要的科學貢獻 (以及前文討論的算子理論)。這種選擇，或者更確切地說是限制，對大多數(shù)數(shù)學家來說可能很奇怪，但在心理學上卻很有趣。這似乎表明，也許他的主要愿望和最強烈的動機之一是，重建數(shù)學在理論物理學概念層面（conceptual level）的作用。自第一次世界大戰(zhàn)結束以來，抽象數(shù)學研究和理論物理主流思想的分離是不可否認的。馮·諾伊曼經常表示擔心，數(shù)學可能無法跟上物理學中呈指數(shù)增長的問題和思想。記得在一次談話中，我提出了擔憂：可能會出現(xiàn)某種馬爾薩斯1式的分歧——物理科學和技術以幾何級數(shù)增長，而數(shù)學以算術級數(shù)增長。他說這確實可能會這樣。然而，在后來的討論中，我們都堅持希望數(shù)學方法會在很長一段時間內保持對精確科學的概念上的控制！

論文[7]2是馮·諾伊曼與希爾伯特以及諾德海姆（Lothar Nordheim）3合著的。根據(jù)其序言，它基于希爾伯特于1926年冬天關于量子理論新發(fā)展的演講，并在諾德海姆的幫助下完成。根據(jù)引言，這篇論文的重要數(shù)學部分和討論是馮·諾伊曼給出的。

本文的既定目的是引入概率關系，而不是經典力學中嚴格的函數(shù)關系。它還以一種相當簡單和更易于理解的方式闡述了約爾當和狄拉克的思想。即使在30年后的今天，馮·諾伊曼的這篇論文以及他在這方面的后續(xù)工作，其歷史重要性和影響也很難被高估。希爾伯特在公理化方面的偉大綱領在這里獲得了另一個重要的應用，即物理理論與相應數(shù)學系統(tǒng)之間的同構（isomorphism）。論文引言中明確指出，如果理論的形式化和其物理解釋沒有簡明扼要且完全地分開，人們就很難理解這個理論。這種分離即是本文的目的，盡管人們承認在當時不可能進行完全的公理化。

我們可以在這里補充一點，相對論性不變量子理論的這種完全公理化，將其應用于核現(xiàn)象仍有待實現(xiàn)。4這篇論文概述了對應于物理可觀測量的算符演算，討論了厄米特算符的性質——這些共同構成了《量子力學的數(shù)學原理》（Mathematische Begründung der Quantenrnechanik）一文的序言。

關于統(tǒng)計力學在量子理論中的作用和測量問題，馮·諾伊曼明確且精準的想法見論文[10]5。他的名作《量子力學的數(shù)學基礎》（Mathematische Grundlagen der Quantenmechanik），給出了公理化處理、測量理論和統(tǒng)計學的詳細討論。

在量子力學史上，至少有兩項數(shù)學貢獻是重要的：狄拉克的數(shù)學處理并不總是滿足數(shù)學嚴謹性的要求。例如，它假設每個自伴隨算符都可以被對角化，這迫使人們?yōu)槟切o法做到這一點的算符引入狄拉克著名的“反?！焙瘮?shù)。正如馮·諾伊曼所說，先驗地看來，就像牛頓力學（當時）需要矛盾的無窮小演算一樣，量子理論似乎需要一種對無限多個變量進行分析的新形式。馮·諾伊曼所取得的成果表明事實并非如此。也就是說，變換理論（Transformation theory）可以建立在一個明確的數(shù)學基礎上，不是細扣狄拉克的方法，而是通過發(fā)展希爾伯特的算子譜理論。特別是，這是通過他對無界算子的研究來實現(xiàn)的，超越了希爾伯特、里斯（Frigyes Riesz）和施密特等人的經典理論。

第二份貢獻構成了他書中第5章和第6章的重要內容。它與量子理論中的測量和可逆性問題有關。幾乎從一開始，當海森堡、薛定諤、狄拉克和玻恩的思想首次獲得轟動性的成功時，人們就提出了關于非決定論在理論中的作用的問題，并提出建議：通過假設可能的“隱藏”參數(shù)（隱變量）來解釋這個問題，這些參數(shù)在未來被發(fā)現(xiàn)時，將回到更決定性的理論描述。馮·諾伊曼證明，該理論表述的統(tǒng)計特征并不是由于執(zhí)行測量的觀察者的狀態(tài)是未知的。被觀察者和觀察者組成的系統(tǒng)會導致不確定性關系，即使人們承認觀察者的確切狀態(tài)。這被證明是先驗假設的結果，該假設涉及物理量與希爾伯特空間中算子相關聯(lián)的一般性質。6

這部著作以一種符合數(shù)學家氣質且技術上有趣的形式呈現(xiàn)了新量子理論的思想，這絕對是第一重要的貢獻。因為它試圖對物理學家最初構思的理論——依靠并非人人理解的直覺——進行理性呈現(xiàn)；此外它也有巨大的教學價值。雖然不能斷言這部著作能否為此后發(fā)現(xiàn)的更令人困惑的物理現(xiàn)象引入了新穎的物理思想，畢竟薛定諤、海森堡、狄拉克和其他人在那些年里構建的量子理論仍然只是一個不完整的理論骨架，馮·諾伊曼至少為其嚴格處理提供了一個邏輯上和數(shù)學上明確的基礎。

分析、數(shù)值計算和流體動力學

在早期的論文[33]7中，馮·諾伊曼通過簡單的幾何構造證明了變分法中Radó7的基本引理（此引理是說：函數(shù)z=f(x, y)滿足常數(shù)為Δ的李普希茲條件，如果沒有最大傾角Δ大于的平面與由所給函數(shù)定義的曲面的邊界在三個或更多點相交。）這篇論文的有趣之處還在于其證明方法涉及到直接的幾何直觀（geometric visualizations），這在馮·諾伊曼的已發(fā)表作品中并不多見。

論文[41]9是過去四分之一世紀中數(shù)學分析領域令人矚目的成就之一。它給出整個領域第一個精確的數(shù)學結果：嚴格處理統(tǒng)計力學中的遍歷假設。馮·諾伊曼受到了庫普曼（Bernard Koopman）10的啟發(fā)，后者曾發(fā)現(xiàn)有可能將哈密頓動力系統(tǒng)的研究簡化為希爾伯特空間中算子的研究。使用庫普曼的表示，馮·諾伊曼證明了現(xiàn)在所謂的弱遍歷定理，即測度空間上迭代的、保測度的變換的函數(shù)均值的依測度收斂。這一定理不久之后被伯克霍夫（G. D. Birkhoff）以幾乎處處收斂的形式加以強化，為經典統(tǒng)計力學提供了第一個嚴格的數(shù)學基礎。該領域的后續(xù)發(fā)展以及這些結果的很多推廣已眾所周知，在此不再贅述。同樣，這種成功歸于馮·諾伊曼對集合論中受分析方法啟發(fā)的技巧的精通，并融合了其在希爾特空間算子方面的獨創(chuàng)工作。

數(shù)學物理的另一個領域也能夠在普遍意義上用現(xiàn)代分析精確地研究。在這個例子中，一開始同樣取得了巨大進展，但是當然，這個故事還沒有結束；就經典動力學而言，對統(tǒng)計力學基礎的數(shù)學處理還遠遠不夠！擁有遍歷定理和度量可傳遞變換（metrically transitive transformations）11存在性的知識是非常好的，但這些事實只是該主題的基礎。馮·諾伊曼經常在談話中表達這樣一種感覺，即這一領域未來的進展將取決于這樣的定理——將在數(shù)學上對該學科后續(xù)部分進行令人滿意的處理。玻爾茲曼方程需要一個完整的數(shù)學理論，而系統(tǒng)趨于平衡時的速率需要精確的定理。

馮·諾伊曼的論文[86]14，也許不如它應有的那么出名，它顯示出馮·諾伊曼對近似問題和數(shù)值工作越來越感興趣。在我看來，它具有非?？捎^的教學價值。他研究了當N很大時，有限個N×N矩陣的性質，以及N維復歐幾里得空間上所有線性運算所構成的空間的行為。文章直截了當，并且在前言中明確指出，與通常的方法相比，這種研究極限情況（即無限維酉空間，就是希爾伯特空間）的漸近方法被無端地忽略了。（這種說法與他在《量子力學的數(shù)學基礎》一書的引言中表達的觀點幾乎相反，這是很奇怪的。）

概括來說，這篇論文討論如下問題：哪些N階矩陣的行為或近似行為表現(xiàn)得如同m階矩陣，（這里m與N相比很小，而且是N的一個因子）。近似行為的概念在矩陣空間中的給定度量或偽度量下變得精確。我想補充一點，這篇論文的基本論述特征值得稱贊，而這并非總能體現(xiàn)在他對希爾伯特空間的研究中。

在與巴格曼（Valentine Bargmann）和蒙哥馬利（Deane Montgomery）合作論文[91]15，馮·諾伊曼的思想延續(xù)下來。文章包含了求解線性方程組的各種方法，并且從中能看出馮·諾伊曼已經開始考慮用當時已出現(xiàn)的電子機器進行運算的可能性。

對于應用分析問題，戰(zhàn)爭年代產生了對快速估算和近似結果的需求，這些問題往往不會那么“干凈”。也就是說，在數(shù)學上是“非齊次的”，除了要計算的物理現(xiàn)象的主要過程之外，還涉及許多外部擾動，其影響在附加變量中不能被忽視甚至不能被分離。這種情況經常出現(xiàn)在當今的技術問題中，迫使人們至少在最初階段采用數(shù)值方法，這樣做并不是因為人們需要高精度的結果，而只是為了實現(xiàn)定性分析！那時馮·諾伊曼對數(shù)值分析的興趣大大增加，他意識到了這個對數(shù)學純粹主義者來說可能有些可悲的事實。

與戈德斯坦（H. H. Goldstine）合寫的文章[94]16中，他們研究了高階矩陣的數(shù)值反演問題，還試圖給出嚴格的誤差估計，在反演~150階矩陣可實現(xiàn)的精度上獲得了有趣的結果。估計值是“在一般情形下”獲得的。（“一般”意味著在可信假設統(tǒng)計下，除了一組低概率集合，這些估計成立。）

由于需要快速定位和回答數(shù)學物理和工程中的問題，快速電子計算機發(fā)展起來。作為其副產品，人們有機會進行一些更好玩的工作！在一定程度上滿足人們對某些有趣整數(shù)序列的好奇心。一個最簡單的例子是，在e和π的（無限不循環(huán)）小數(shù)點后幾萬位內某數(shù)字序列出現(xiàn)的頻率。人們在高等研究院的機器上進行了一次這樣的計算，給出了2的立方根作其連分式展開中前2000個部分商（partial quotients）。無論問題多么簡單, 約翰尼都對這樣的實驗工作很感興趣。在洛斯阿拉莫斯關于這些問題的一次討論中，他要求給出“有趣”的數(shù)字來計算它們的連分數(shù)展式。我給出了一個四次無理量y，它由方程 y=1/(x+y)給出，其中x=1/(1+x)，在它的展式中可能出現(xiàn)一些奇怪的規(guī)律。人們計劃計算許多其他數(shù)字，但我不知道這個小項目是否真被實施過。

博弈論

博弈論成為了如今數(shù)學領域快速發(fā)展的新篇章，它本質上是馮·諾伊曼開創(chuàng)的。在發(fā)表本文的同期雜志上，A. W. Tucker和H. W. Kuhn的文章18將會介紹他在這一領域的基礎工作?！蔽抑幌胝f，這些研究反映了他最為豐富、最有影響的工作。

1921年，博雷爾（émile Borel）在Comptes-Rendus的一篇注記中，首次提出兩個游戲玩家博弈策略的數(shù)學方案。而這門學科的真正建立，被認為是源于馮·諾伊曼的論文[17]19。正是這篇文章中，馮·諾伊曼證明了基本的“極大極小”（minimax）定理，并制定了n個玩家（n≥2）之間博弈的一般方案。這些方案，除了對經濟學等領域中實際博弈的意義和應用之外，還產生了大量具有純粹數(shù)學意義上新穎的組合問題。Min Max = Max Min 的定理，以及關于多變量函數(shù)的鞍點的存在性推論，都包含在他1937年的論文[72]20中。它們被證明是布勞威爾不動點定理和以下幾何事實的推廣的結果：設 S、T 是兩個分別包含

個閉子集；假設對于 S 的每個元素x，集合Q(x)={y:(x, y)∈V}是非空的凸閉集；類似地，對于T中的每個元素y，集合是P(y)={x:(x, y)∈W}非空的凸閉集，那么集合V, W至少有一個公共點。這個定理，后來被角谷靜夫（Shizuo Kakutani）、納什（John Nash）、布朗（George W. Brown）和其他人進一步討論，它在證明“好策略”的存在性方面發(fā)揮著核心作用。

博弈論，包括現(xiàn)在對無限博弈的研究（瑪祖爾（Stanis?aw Mazur）于1930年左右在波蘭首次提出）正繁榮發(fā)展。只要參考三卷《對博弈論的貢獻》（Contributions to Game Theory）[102;113;114]21中包含的工作，就足夠說明這一領域思想的豐富性——純數(shù)學意義下的各種巧妙表述以及日益增多的重要應用；這里還有非常多陳述簡單卻尚未解決的問題。

經濟學

奧斯卡·摩根斯特恩（Oskar Morgenstern）和約翰·馮·諾伊曼（John von Neumann）的經典論文《博弈論與經濟行為論》（Theory of Games and Economic Behavior）[90]22以純數(shù)學形式對博弈論進行了闡述，并非常詳細地描述了其在實際博弈中的應用；并結合對經濟理論的一些基本問題的討論，引入了對經濟行為和某些社會學問題的不同處理方法。經濟學家奧斯卡·摩根斯特恩是馮·諾伊曼在普林斯頓多年的朋友，他對經濟形勢的各個方面感興趣，特別是兩人及兩人以上人之間的商品交換問題，壟斷、寡頭壟斷和自由競爭的問題。正是在嘗試討論這些過程的數(shù)學化中，這一理論開始形成了現(xiàn)在的雛形。

目前在“運籌學”、通信問題以及沃德（Abraham Wald）23的統(tǒng)計估計理論中的眾多應用，要么源于或正在借鑒這本專著中提出的觀點或構思方案。我們甚至無法在本文中概述這些調查的范圍。有興趣的讀者可以在赫維克茲（Leonid Hurwicz）24的著作《經濟行為理論》（The theory of economic behavior）25和馬爾沙克（Jacob Marshak）26的著作《諾伊曼和摩根斯坦的靜態(tài)經濟學新方法》（Neumann's and Morgenstern's new approach to static economics）27中找對那些問題的描述。

動力學、連續(xù)介質力學與氣象計算

在與錢德拉塞卡（S. Chandrasekhar）共同撰寫的兩篇論文[84和88]28中，他們考慮了以下問題：假定質量中心隨機分布，比如在星團中的很多恒星或一團星云，這些大質量物質在運動且相互吸引。問題在于探究引力場漲落的統(tǒng)計結果，并研究受不同局部分布變化影響的單個質量的運動。在第一篇論文中，他們通過巧妙的計算解決了引力的分布函數(shù)漲落速率的問題，并得到概率分布W（F, ?）的一般公式，其中F為引力場強度，相關的變化率?是F關于時間的導數(shù)。得到的結果包括如下定理：對于弱場，在給定時刻產生作用的場發(fā)生變化的概率與初始場的方向和大小無關；而對于強場，在初始場的方向上發(fā)生變化的概率，是在其垂直方向上發(fā)生變化概率的兩倍。

第二篇論文致力于統(tǒng)計分析作用于恒星每單位質量的引力的漲落速度，恒星以速度V相對于臨近恒星做形心運動。這個問題是在恒星以一致泊松分布且局部速度呈球形分布的假設下解決的；他們也對不同質量的一般分布作了解答，給出作用于兩個非常接近點的引力相關的表達式。該方法給出了空間相關性的漸近行為。

馮·諾伊曼長期以來對湍流現(xiàn)象感興趣。我還記得1937年關于對納維-斯托克斯方程（Navier-Stokes equations）進行統(tǒng)計處理的可能性的討論，通過用無窮多個全微分方程替代這些偏微分方程，從而對流體力學進行分析；而拉格朗日函數(shù)的傅里葉展開式中的傅里葉系數(shù)滿足這些全微分方程。馮·諾伊曼于1949年為海軍研究辦公室（Office of Naval Research）撰寫的一份油印報告《湍流的近期理論》（Recent theory of turbules），對昂薩格爾（Lars Onsager）和柯爾莫哥洛夫（Andrey Kolmogoroff）的思想以及當時的其他工作進行了深刻而清晰的介紹。

隨著第二次世界大戰(zhàn)的開始，馮·諾伊曼對可壓縮氣體運動所帶來的問題進行了研究，特別是因其不連續(xù)性變化形成的令人困惑現(xiàn)象，例如沖擊波（shocks）。

他在這一領域所做的大量研究，很大程度上是為了解決國防工作中出現(xiàn)的問題。它們以報告的形式發(fā)表，其中一些列在在附錄中。（編者注：請參見原文。）

本文無法概括他在這一領域如此豐富多樣的工作，其中大部分作品都能反映出其銳利的分析技巧和慣常清晰的邏輯。在碰撞沖擊相互作用的理論中，他的貢獻尤其值得注意。一個成果是，他給出關于爆炸過程的Chapman-Jouguet假說（即由沖擊引發(fā)的燃燒過程）的第一個嚴格論證。

關于沖擊波反射理論的第一個系統(tǒng)研究也出于馮·諾伊曼（Progress report on the theory of shock wave, NDRC, Div.' 8, OSRD, No. 1140, 1943 ；Oblique reflection of shocks, Navy Department, Explosive Research Report no. 12, 1943）。

如前所述，即使只是在定性分析二維或三維中可壓縮介質的運動，就已經超過了目前顯示分析（explicit analysis）的能力。更糟糕的是，描述這類物理現(xiàn)象的理論的數(shù)學基礎，也許到目前為止，還沒有建立起來。馮·諾伊曼的觀點在 [108]29的評論中得到了很好的表達：

“關于人們通過數(shù)學推理找到的解是否真的發(fā)生在自然界中，以及是否可以事先排除某些具有好的或壞的特征的解的存在，這是一個相當困難且模糊的問題。古典文獻和最近的文獻都對這一問題進行了研究，但它們的嚴格性存在很大差異上，甚至在粗糙程度上也是如此?？偠灾?，在這一領域，要確定任何事情都十分困難。從數(shù)學上講，我們處于連續(xù)的不確定性狀態(tài)，因為我們想要得到解存在性和唯一性的一般定理從未被證明，并且其表面形式很可能是不正確的?！?/p>

接著，他又寫道：

“因此，在允許不連續(xù)性、要求合理的熱力學行為等條件下，流體力學中存在各種各樣的數(shù)學可能性。可能存在一組條件，在這種條件下，每個合理陳述的問題存在一個且只有一個解。然而，對于它是什么，我們只能猜測；在尋找它的過程中，我們幾乎完全依賴物理直覺。因此，我們不可能對任何一點了解得非常明確。并且對于任何已經得到的解，無論有多少把握，我們都很難說它就是在自然界中必定存在的解?！?/p>

如果只是為了對這些難題有啟發(fā)式的見解，人們必須訴諸于特殊條件下的數(shù)值工作。在一系列報告中，馮·諾伊曼討論了最佳數(shù)值過程、差分格式，以及計算方案的數(shù)值穩(wěn)定性等問題。人們應該特別提到他與克特邁耶（Robert D. Richtmyer）合作的論文[100]30，文章為了不具體地涉及沖擊條件和不連續(xù)性，他們引入了一個純數(shù)學的虛構的粘度，這就可以在不必明確假設沖擊運動的情況下，遵循普通的流體動力學方程，一步一步地計算沖擊的運動。

關于地球大氣層運動的流體動力學方程提出的令人生畏的數(shù)學問題，在相當長的一段時間內讓馮·諾伊曼著迷。隨著計算機的出現(xiàn)，至少對問題的簡化版本進行詳細的數(shù)值研究成為可能，并且他開始了一項龐大的計劃。普林斯頓高等研究院成立了一個氣象研究小組31；該小組的計劃是，通過越來越接近大氣真實性質的模型，逐步求解數(shù)值天氣問題。目前，即使在最先進的電子計算機上，對真正的三維運動進行數(shù)值研究也是不切實際的。（事實可能并非如此，比如五年后。編者注：本文寫于1958年。）

馮·諾伊曼發(fā)起的第一個高度模式化的計算，用于處理二維模型，并且大部分是所謂地轉近似（geostrophic approximation）情況。后來，通過假設兩個或三個二維模型以對應于不同海拔高度或壓力水平的相互作用，可以執(zhí)行所謂的“2 + 1/2”維流體動力學計算。這個問題在他的腦海中非常重要，不僅因為它具有的內在數(shù)學興趣，還因為得到成功的解決方案可能會產生巨大的技術影響。他認為，隨著計算機的發(fā)展，以及我們對控制大氣過程的動力學的了解，我們正在接近實現(xiàn)天氣預報的水平。他還相信，人們能夠理解、計算，也許可以最終實現(xiàn)控制和改變氣候的過程。

在論文[120]32中，他推測在不久的將來，人們可以利用現(xiàn)有的巨大核能資源，產生與“偉大地球本身”33相同量級的大氣環(huán)流變化。在已經了理解物理現(xiàn)象的這些問題中，未來的數(shù)學分析可能會使人類能夠極大地擴展控制自然的能力。

電子計算機理論與實踐、蒙特卡羅方法

馮·諾伊曼對數(shù)值工作的興趣有不同的來源。一方面源于他最初關于形式主義在數(shù)理邏輯和集合論中的作用的工作，他年輕時的工作廣泛涉及希爾伯特將數(shù)學視為有限游戲的綱領。另一個同樣強大的動機來自他在數(shù)學物理問題方面的工作，包括經典物理學中遍歷理論的純理論性研究以及他對量子理論的貢獻。隨著流體力學和核能技術中出現(xiàn)的各類連續(xù)介質力學，所反映出的實際問題越來越多，這些直接變成了計算問題。

我們已經簡要討論了馮·諾伊曼對湍流問題、連續(xù)介質的一般動力學和氣象計算的興趣。我很清楚地記得，在洛斯阿拉莫斯項目的早期，顯然僅靠分析工作往往不足以提供哪怕是定性的答案。對于很多問題，手工進行數(shù)值工作，甚至使用臺式計算器，都需要長到不能接受的時間才能解決。這種情況似乎成為馮·諾伊曼的最終動力，促使他干勁十足地投入到利用電子設備進行計算的研究中。

幾年來，馮·諾伊曼一直認為，在許多流體力學問題中——在沖擊波的行為和傳播方面，以及非線性偏微分方程所描述的現(xiàn)象涉及大位移的情況下（也就是說，線性化不足以接近真實描述），數(shù)值工作是必要的，以便為未來的理論提供啟發(fā)式材料。

這種終極的必要性迫使他從基礎上研究電子機器的計算問題，并且在1944年和1945年期間，他制定了現(xiàn)在所用的基本方法——將一組數(shù)學過程轉換為計算機的指令語言。當時的電子計算機（例如ENIAC34）缺乏現(xiàn)在處理數(shù)學問題時所具有的靈活性和通用性。從廣義上講，每個問題都需要一個特殊且不同的布線系統(tǒng)，以使機器能夠按給定的順序執(zhí)行規(guī)定的操作。馮·諾伊曼的巨大貢獻在于，他提出了“流程圖”（flow diagram）和“代碼”（code）的概念：前者讓機器的連接或電路固定但相當通用；后者能讓這組固定連接能夠解決各種問題。雖然可以事后諸葛地說，提出這種布置的可能性對數(shù)理邏輯學家來說可能是顯而易見的，但以當時的電子技術，要實現(xiàn)并執(zhí)行這種通用方法遠遠沒有那么容易。

即使在這些方法問世十年后的今天，人們也很容易低估從數(shù)學物理問題中誕生的這種理論試驗所能開辟的巨大可能性。這個領域仍然很新，做出預言似乎有風險，但是在流體力學、磁流體力學和量子理論計算等許多方面，（我們）已經積累了大量的理論實驗，因此我們可以期待從這些計算中得到滿意的綜合理論。

計算機的工程設計在很大程度上歸功于馮·諾伊曼。機器的邏輯模式、內存的相對作用、運行速度、基本“命令”的選擇以及當前機器中的電路，都深深帶有他思想的烙印。馮·諾伊曼親自監(jiān)督普林斯頓高等研究院電子計算機的建造，以便熟悉所涉及的工程問題，同時掌握這種用于新實驗的工具。甚至在機器竣工之前（花費的時間比預期的要長），他就將洛斯阿拉莫斯實驗室的某些問題設置在機器上，執(zhí)行了大量計算。其中之一是關于熱核反應過程的問題，涉及超過十億的基本算術運算和基本邏輯命令。這個問題其實是要對反應傳播問題給出“是”或“否”的答案。人們并不關心最終數(shù)據(jù)是否非常精準，但是為了獲得原始問題的答案，所有中間的和詳細的計算似乎都是必要的。的確，對問題的某些要素的行為進行猜測，再加上手工計算，可以對揭示最終答案起到相當大的作用。為了提高這種通過直覺而獲得的估計的置信度，人們必須進行大量的計算工作。而這種情況在解決數(shù)學物理和現(xiàn)代技術的某些新問題中，似乎相當普遍。描述這些現(xiàn)象時，我們不需要天文精度；而在某些情況下，如果對行為的預測精度“高達10%”，人們就會非常滿意。但在計算過程中，各個步驟必須盡可能準確。數(shù)量巨大的基本步驟帶來了估計最終結果的可靠性問題，以及數(shù)學方法及其計算執(zhí)行過程中的內在穩(wěn)定性的問題。

在馮·諾伊曼獲得原子能委員會的費米獎時，（委員會）特別指出其在發(fā)展電子機器上進行計算的貢獻，這些貢獻在核科學和技術的許多方面都很有用。

電子計算機的計算速度超過了手工計算的數(shù)千倍，這催生出很多全新方法——不僅在經典意義上的數(shù)值分析方面，對于數(shù)學分析本身的過程的基礎原理也是如此。沒有人比馮·諾伊曼更清楚這里的含意。

我們可舉一個小例子，用所謂的蒙特卡洛方法來說明。過去為手工計算甚至是為繼電器開發(fā)出的數(shù)值分析方法，對于電子計算機來說，并不一定是最優(yōu)的。比如，直接計算所需的值顯然比使用初等函數(shù)表更經濟。其次，對于需要化簡積分方程來求積分之類的問題，現(xiàn)在完全可以通過一些非常復雜的算法求解，這些算法甚至無法用手工實現(xiàn)，但對于新機器完全可行。

馮·諾伊曼在二戰(zhàn)后的幾年里發(fā)明了幾十種計算技巧，比如“子程序”（subroutines），用于計算基本代數(shù)函數(shù)或超越函數(shù)；求解輔助方程，等等。順便說一句，其中一些工作尚未被數(shù)學界普遍知曉，而工業(yè)界或政府項目中使用計算機的科研人員卻非常熟悉。這項工作包括，求矩陣的特征值和逆矩陣的方法；搜索多變量函數(shù)極值的簡潔方法；以及隨機數(shù)的產生等。很多工作顯示了他在數(shù)理邏輯和算子理論的早期工作中所具有的典型的組合靈巧性，有些甚至可用技藝精湛形容。

19世紀人們所希望的數(shù)學物理原理的數(shù)學表述的簡潔性，在現(xiàn)代理論中似乎明顯缺失了。人們發(fā)現(xiàn)了基本粒子中令人困惑的多樣性和豐富的結構，這似乎推遲了早期數(shù)學成為整體的希望。在應用物理學和技術問題中，人們不得不處理在數(shù)學上呈現(xiàn)不同系統(tǒng)混合的情況：例如，粒子系統(tǒng)除了本身行為受力學方程控制，還有由偏微分方程描述的相互作用的電場；或者在產生中子過程的研究中，除了中子系統(tǒng)之外，還要考慮從這些粒子分離出的其他物質與整個系統(tǒng)相互作用的流體力學和熱力學性質。

僅從組合學的角度來看，且不用說在處理偏微分和積分方程時的解析困難，很明顯目前找到閉合解（Closed-Form Solution35）希望渺茫。因此為了探究這些系統(tǒng)的性質，即使只是定性理解，人們被迫尋去找實際能用的方法。

我們決定尋找這樣的方法，大致來說就是在數(shù)學模式中找到給定物理問題的同態(tài)象（homomorphic image），該模式可以由電子計算機處理的虛構“粒子”系統(tǒng)表示。特別是在涉及大量獨立變量的函數(shù)問題中，這種方法有用武之地。為了給出這種蒙特卡洛方法的一個非常簡單的具體例子，我們考慮由一組不等式描述的給定n維“立方體”的子區(qū)域的體積估值問題。一般做法是將空間系統(tǒng)地分割為格點來近似所需的體積，而這種方法是可以以均勻的概率隨機地選擇空間中一些點，并（在機器上）確定這些點中有多少屬于給定區(qū)域。根據(jù)概率論的基本事實，只要采用足夠數(shù)量的樣本點，這個比例就會按我們所希望概率接近為1，從而給出相對體積的近似值。

還有一個稍微復雜的例子：考慮由一個曲面包圍的空間區(qū)域中的擴散問題，擴散粒子在曲面上會被部分反射、部分吸收；如果該區(qū)域的幾何結構很復雜，那么嘗試執(zhí)行大量“物理地”隨機游走，可能比嘗試經典地求解積分微分方程更經濟。這些“游走”可以在機器上方便地進行，而在概率論中對隨機游走的處理是簡化為微分方程——這個程序實際上做的恰好相反。

這種方法的另一個例子是，給定一組函數(shù)方程，試圖將其轉換為具有概率論或博弈論解釋的等價方程。人們在計算機上將這些等價方程進行模擬，以表示隨機過程，所獲得的分布將對原始方程的解給出一個合理的推測。更進一步，希望直接獲得所討論的物理系統(tǒng)行為的“同態(tài)象”。必須指出的是，在目前研究的許多物理問題中，最初通過某些理想化而獲得的微分方程，可以說不再是神圣不可侵犯的了。至少，在計算機上直接研究這些系統(tǒng)模型可能具有啟發(fā)價值。

在戰(zhàn)爭末期及隨后的幾年里，馮·諾伊曼和我（即本文作者）用這種方法處理了相當多的問題。起初，物理情景本身就直接提出了概率解釋問題。后來，研究了上面提到的第三類問題。這種數(shù)學模型的理論仍然非常不完整。特別是，對漲落和精確度的估計尚未得到發(fā)展。而在這方面，馮·諾伊曼再次貢獻了大量巧妙的方法，例如通過適當博弈，產生給定概率分布的數(shù)列。他還設計了用于處理玻爾茲曼方程的概率模型，以及用于流體動力學中一些嚴格確定性問題的重要隨機模型。這些工作大多分散在各種實驗室報告中，或者仍是手稿。我們當然希望能在不久的將來，向數(shù)學界出版經過系統(tǒng)編纂的文集。

自動機理論與概率邏輯

香農（Claude E. Shannon）教授的文章《馮·諾伊曼對自動機理論的貢獻》（Von Neumann's contributions to automata theory），對他在自動機理論方面的工作做了介紹。這項工作，就像博弈論一樣，在過去幾年中激發(fā)了廣泛且日益擴展的研究，在我看來，這與他最富有成效的思想并駕齊驅。在這里，他對數(shù)理邏輯、計算機、數(shù)學分析的興趣與數(shù)學物理問題的知識相結合，在新的構建中結出碩果。圖靈（Alan Turing）、麥卡洛克（Warren McCulloch）和皮茨（Walter Pitts）關于通過電氣網絡（electrical networks）或理想化神經系統(tǒng)（idealized nervous systems）表示邏輯命題的想法，啟發(fā)他提出并概述了自動機的一般理論。這項理論的概念和術語來自幾個不同領域——數(shù)學，電氣工程和神經科學。這些研究現(xiàn)在有望在數(shù)學方面取得更多的成就，也許一開始是在一個非常簡化的層面上——將生物體和神經系統(tǒng)本身的運作形式化。

核能——在洛斯阿拉莫斯的工作

恰好在第二次世界大戰(zhàn)爆發(fā)前夕，人們發(fā)現(xiàn)了鈾原子因吸收中子，從而釋放了更多中子的裂變現(xiàn)象。許多物理學家立即意識到，大量的鈾發(fā)生指數(shù)級的反應，會釋放巨大能量；于是，他們開始討論，定量評估這一現(xiàn)象以實現(xiàn)新能源的利用。

與數(shù)學家相比，理論物理學家形成了一個規(guī)模更小且聯(lián)系更緊密的群體，一般來說，他們之間成果和思想的交流也更快。馮·諾伊曼在量子理論基礎方面的工作，使他很早就接觸到了大多數(shù)一流物理學家，他意識到了新的實驗事實，并從一開始就參與了他們對裂變現(xiàn)象所潛藏的巨大技術可能性的推測。戰(zhàn)爭爆發(fā)前，他就投入到與國防問題有關的科學工作中。然而，直到1943年末，奧本海默才邀請他作為顧問訪問洛斯阿拉莫斯實驗室，并開始參與以制造原子彈為最終目的工作。

眾所周知，第一個自持式（self-sustaining）核鏈式反應是由費米領導的一組物理學家于1942年12月2日在芝加哥實現(xiàn)的。他們建造了一個反應堆，將鈾和一種減速物質布置在一起，中子在其中被減速，以增加引發(fā)進一步裂變的可能性。反應堆規(guī)模非常大，中子數(shù)量以指數(shù)增長至e倍所用的時間相對較長。在洛斯阿拉莫斯建立的項目的目標是，在相對少量的鈾-235或钚的同位素中產生非?？焖俚姆磻瑥亩鴮е戮薮竽芰康谋ㄐ葬尫?。1943年春末，一個科學小組開始組建起來，到當年秋天，大量杰出的理論和實驗物理學家在洛斯阿拉莫斯定居下來。當馮·諾伊曼抵達這里時，小組正在研究將裂變物質組裝達成臨界質量的各種方法。沒有一種方案可以預先知道是否成功，其中一個問題是，要在核反應導致輕度或中等程度的爆炸之前實施快速組裝，否則大部分核裝料就被浪費了。

特勒（Edward Teller）還記得約翰尼抵達拉米（Lamy，離洛斯阿拉莫斯最近的火車站）時的場景，然后他被一輛公務車帶到了“山上”（the Hill，即洛斯阿拉莫斯小鎮(zhèn)，位于一處高地），當時這里是高度保密的：

“當他到達時，統(tǒng)籌委員會（Coordinating Council）正在開會。我們的領導奧本海默正在報告渥太華會議的情況。他的講話中提及了許多最重要的人物和同樣重要的決定，其中之一與我們密切相關：我們可以期待英國特遣隊在不久的將來來到這里。講話結束后，他詢問大家是否有任何問題或意見。觀眾對此印象深刻，沒有提出任何問題。然后奧本海默提出其他話題也可以提問。過了一兩秒鐘，一個低沉的聲音（其來源已經消失在歷史中）說：‘我們什么時候才能在山上找到一個鞋匠？’盡管當時沒有與約翰尼討論任何科學問題，但他斷言，從那一刻起，他已經完全了解了洛斯阿拉莫斯的本質?！?/p>

當時的工作氣氛非常熱烈，與技術或工程實驗室相比，這里不拘于形式，具有探索性質，因此更像大學中的研討會，可以說，是一種科學討論的抽象風格。我清楚地記得，一到洛斯阿拉莫斯時，我就驚訝地發(fā)現(xiàn)，這里的環(huán)境讓人想起一群數(shù)學家在討論他們抽象的猜想，而不是工程師研究一個定義明確的實際項目——討論經常非正式地進行，直到深夜。從科學上講，這種情況的一個顯著特征是所遇問題的多樣性，每個問題對項目的成功都同樣重要。例如，數(shù)量呈指數(shù)級增長的中子在空間和時間上的分布問題；同樣重要的問題包括，原子彈內核裝料裂變導致的持續(xù)增加的能量沉積問題，爆炸中的流體動力學運動的計算；輻射形式的能量的分布；最后還有，原子彈失去臨界狀態(tài)后周圍材料的運動過程。理解所有這些所涉及數(shù)學領域極為不同的問題至關重要。

這里不可能詳細介紹馮·諾伊曼的貢獻。我將嘗試指出一些相對重要的方面。1944年初，我們考慮了一種內爆（implosion）方法，用于可裂變物質的組裝。這個過程涉及到對核裝料的球面沖擊，對其進行壓縮。馮·諾伊曼、貝特（Hans Bethe）和特勒是最早認識到這一方案具有優(yōu)勢的人。特勒向馮·諾伊曼講述了內德梅耶（Seth Neddermeyer）的實驗工作，然后他們合作研究出這種球面幾何的基本結果。馮·諾伊曼得出的結論是，這種方法可以產生極大的壓力，并且在討論中還弄清楚了，巨大的壓力也會帶來相當大的壓縮。為了以足夠對稱的方式開始內爆，必須同時從多點引爆以傳遞至內部的高爆炸藥。塔克（James Tuck）和馮·諾伊曼建議使用高爆透鏡以輔助實現(xiàn)。

我們之前提到過馮·諾伊曼與物理學家交流的能力，他理解物理學家的語言，幾乎能立即將其轉化為數(shù)學家熟悉的形式，這種能力也許在數(shù)學家中非常罕見。然后，他還可以將答案翻譯回物理學家常用的表達方式。

第一次嘗試計算內爆引起的運動，是極為示意性的。人們對所涉及的核裝料的狀態(tài)的方程知之甚少，但即使通過粗略的數(shù)學近似，也會導出一些方程，而對它們的求解也明顯超過了精確解析方法的范圍。很明顯，為了獲得正確的定量結果，必須進行大量繁瑣的數(shù)值工作，而這時計算機作為必要的輔助工具出現(xiàn)了。

一個更為復雜的問題是核爆炸特性的計算。其中釋放的能量取決于向外運動的過程，當然，這些運動受以下因素約束：能量沉積率、材料的熱力學性質以及極高溫度下產生的輻射等。對于第一次實驗，人們也只能對近似計算感到滿意；正如前文所述，如果沒有計算機的復雜計算，即使是數(shù)量級也不容易估計。戰(zhàn)爭結束后，對于計算機的使用，為了節(jié)省資源并最大限度地利用，人們提出需要用其做更精確的計算。馮·諾伊曼對被考慮的物理問題的數(shù)學處理做出了很大貢獻。

在戰(zhàn)爭期間，研究人員已經考慮了熱核（thermonuclear）反應的可能性，最初只是做了一些討論，然后進行了初步計算。作為一個富有想象力的小組的成員，馮·諾伊曼在其中非常活躍，他們考慮了大規(guī)模實現(xiàn)這種反應的各種方案。在數(shù)學上，處理這種反應所必需的條件和其過程所涉及的問題，甚至比裂變爆炸的問題更復雜（實際上，理解裂變爆炸的性質是探究熱核反應的先決條件）。在一次討論中，我們概述了這種計算的過程，馮·諾伊曼轉過身來對我說：“我們在執(zhí)行計算中所做的基本算術運算，也許比人類迄今所做運算的總數(shù)還要多?！辈贿^，我們注意到，世界上學齡兒童在幾年內所做乘法的總數(shù)，就已經明顯的超過了我們的問題！

由于篇幅有限，我無法列舉馮·諾伊曼無數(shù)多個較小的技術貢獻，但它們很受從事這個項目的物理學家和工程師的歡迎。

馮·諾伊曼非常擅長在不使用筆紙的情況下，在頭腦中進行尺度估計以及代數(shù)和數(shù)值計算。這種能力，也許有點類似于蒙著眼睛下棋的天賦，常常給物理學家留下深刻的印象。我的印象是，馮·諾伊曼并沒有將所考慮的物理對象形象化，而是將它們的性質視為基本物理假設的邏輯結果，他可以把這種演繹推理玩得出神入化！

馮·諾伊曼個人的科學風格有一個很大的特點，就是愿意用心傾聽，即使那些問題沒有太多科學意義，但謎題只要能體現(xiàn)一種組合性的吸引力，他就會給予關注。這使他博得了那些從事數(shù)學技術應用的人的喜歡與追捧。許多與他交談的人都得到了積極的幫助或安慰，因為他們知道，數(shù)學中沒有什么魔法——能讓人輕松地解決他們的問題。馮·諾伊曼無私地參與了可能數(shù)量過多、門類過廣的活動，這些活動可能對數(shù)學洞察力有用（這些活動在當今的技術發(fā)展中越來越普遍），但也對他的時間提出了嚴峻的要求。在第二次世界大戰(zhàn)結束后的幾年里，他發(fā)現(xiàn)自己幾乎每時每刻都在為各種相互矛盾的要求而糾結。

馮·諾伊曼堅信，核能的釋放所引發(fā)的技術革命，將給人類社會，特別是給科學發(fā)展，帶來比人類歷史上任何技術發(fā)現(xiàn)都更為深刻的變化。他告訴我，在他非常年輕的時候就相信，在有生之年核能會被開發(fā)出來，并改變人類活動的秩序，這是他為數(shù)不多的幾次談到自己的幸運猜測的例子之一。

他積極參與了關于受控熱核反應可能性的早期設想和審議。1954年，他成為原子能委員會的一員，致力于解決與裂變反應堆的建造和運行有關的技術和經濟問題。在這個職位上，他還花了很多時間來組織數(shù)學計算機的研究，并設法將它們提供給大學和其他研究中心。

馮·諾伊曼的數(shù)學旅途

馮·諾伊曼在數(shù)學領域留下了如此多的永恒印記，我們只對他這方面的工作進行粗略瀏覽，又零星介紹了他在其他多個領域的成就，這可能會引發(fā)這樣一個問題：他的工作中是否有一條連續(xù)的脈絡?

正如龐加萊所說：“有些問題是我們自己問的，有些問題是自然出現(xiàn)的。（Il y a des problèmes qu'on se pose et des problèmes qui se posent。）”現(xiàn)在，在偉大的法國數(shù)學家提出這種模糊區(qū)別的50年后，數(shù)學問題中的這種劃分已經更尖銳地體現(xiàn)出來。數(shù)學家們所考慮的對象，更多是他們自己的自由創(chuàng)造，可以說，通常是對先前構造的特殊推廣。這些理論有時最初是受到物理圖景的啟發(fā)，而另一些則從自由的數(shù)學創(chuàng)造中演化而來——在某些情況下，預示了物理關系的實際模式。馮·諾伊曼的思想顯然受到這兩種傾向的影響。他的愿望是，盡可能讓金字塔式的數(shù)學構造，與物理和其他科學中不斷增長的復雜性保持聯(lián)系，而這種聯(lián)系現(xiàn)在越來越難以捉摸。

18世紀一些偉大的數(shù)學家，特別是歐拉，成功地將許多自然現(xiàn)象的描述納入數(shù)學分析領域。馮·諾伊曼的工作，試圖讓由集合論和現(xiàn)代代數(shù)發(fā)展的數(shù)學扮演類似的角色。當然，在今天，這是一項困難得多的任務。在19世紀的大部分時間里，無窮小演算（infinitesimal calculus，即微積分的早期說法）和隨后數(shù)學分析的發(fā)展，不僅僅能為因物理學發(fā)現(xiàn)而打開的潘多拉盒子之內容編目，也有希望理解真正理解這些內容。這種希望現(xiàn)在是虛幻的，僅僅是因為歐幾里得空間的實數(shù)系統(tǒng)——在代數(shù)上，甚至只在拓撲學上——都不能再聲稱其是物理理論唯一的，甚或最好的數(shù)學基礎。19世紀的物理思想，在數(shù)學上由微分和積分方程以及解析函數(shù)理論主導，現(xiàn)在這些已經不夠用了。新的量子理論在解析方面需要集合論的更一般的觀點，其原始概念本身就涉及概率分布和無限維函數(shù)空間。而與此相對應的代數(shù)則涉及到組合和代數(shù)結構的研究，比僅用實數(shù)或復數(shù)表示的結構更一般。因此要理解這些數(shù)學，人們可以運用康托集合論，以及由希爾伯特、外爾（Hermann Weyl）、諾特（Emmy Noether）、阿廷（Emil Artin）和布勞威爾（Richard Brauer）等人發(fā)展一整套復雜思想，而馮·諾伊曼的工作這時應用而生。

另一項啟發(fā)普通數(shù)學發(fā)展的內容是一種新的組合分析，源于最近的生物科學的基礎性研究。在這方面，目前缺乏通用的方法的狀況更加明顯了。這些問題本質上是非線性的，并且具有極其復雜的組合特征?？磥恚谌藗兿Ｍ@得決定性的綜合理論所需的洞察力之前，還需要許多年的實驗和啟發(fā)式研究。正是意識到這一點，馮·諾伊曼在過去十年中將大量精力投入到計算機器的研究和建造中，并為自動機的研究制定了初步大綱。

回顧馮·諾伊曼的工作，看看它們分支如此眾多、延伸廣闊，人們可以像希爾伯特那樣說：“人們不禁會問自己，數(shù)學科學是否會像其他科學長期以來的情況那樣，結束于被分割為各自孤立的部分，它們的代表人物（研究人員）幾乎無法理解彼此，它們的關系將繼續(xù)減少？我不這么認為，也不希望這樣；數(shù)學科學是一個不可分割的整體，是一個有機體，其生命力正是在于其各部分無法分離。無論我們的科學門類在其細節(jié)上有多么的多樣化，我們仍然被邏輯過程的對等性、整個科學中思想的關系以及不同領域中無數(shù)的類比所震撼……”36馮·諾伊曼的工作正是對數(shù)學的普適性和有機統(tǒng)一的理想做出了貢獻。

（編者注：原文最后一部分是介紹馮·諾伊曼的部分榮譽和擔任過的職務，以及作者烏拉姆整理的論文列表。如有需要可閱讀原文。）

注釋

1.譯者注：馬爾薩斯（Thomas Robert Malthus，1766 -1834），英國教士、人口學家、政治經濟學家，以其人口理論聞名于世。

2.[7]Uber die Grundlagen der Quantenmechanik. With D. Hilbert and L. Nordheim. Math. Ann. vol. 98 (1927) pp. 1-30.

3.譯者注：諾德海姆（Lothar Wolfgang Nordheim，1899-1985），德裔美籍物理學家，對量子理論、核物理、粒子物理均有貢獻。

4.有關原子現(xiàn)象的非相對論量子理論公理化現(xiàn)狀，有一篇出色的簡明總結，請參閱George Mackey的文章Quantum mechanics and Hilbert space, Amer. Math. Monthly, October, 1957, 并且仍然主要基于馮·諾伊曼的書《量子力學的數(shù)學基礎》。

5.Wahrscheinlichkeitstheoretischer Aufbau der Quantenmechanik, Nachr. Ges. Wiss. G?ttingen (1927) pp. 245-272.

6.這里不可能總結所涉及的數(shù)學論證。絕大多數(shù)物理學家仍然同意馮·諾伊曼的提議。這并不是說，與目前量子力學的數(shù)學表述不同的理論不允許隱變量存在。有關最近的討論，請參閱科斯頓文集（第9卷），這是1957年4月1日至4月4日在布里斯托爾大學舉行的科爾斯頓研究學會（Colston Research Society）第九屆研討會的會議記錄，其中有玻姆（David Bohm），羅森菲爾德（Léon Rosenfeld）等人的討論。

7.[33]über einen Hilfssatz der Variationsrechnung, Abh. Math. Sem. Hansischen Univ. vol. 8 (1930) pp. 28-31.

8.譯者注：Tibor Radó（1995-1965），匈牙利數(shù)學家，以解決Plateau問題而聞名。

9.[41]Proof of the quasi-ergodic hypothesis, Proc. Nat. Acad. Sci. U.S.A. vol. 18(1932) pp. 70-82.

10.庫普曼（Bernard Osgood Koopman，1900-1981），法裔美籍數(shù)學家，以遍歷理論、概率論、統(tǒng)計理論和運籌學的基礎工作而聞名。美國運籌學學會的創(chuàng)始成員和第六任主席。

11.譯者注：度量可遞性質（Metric transitivity），可參考
https://encyclopediaofmath.org/wiki/Metric_transitivity

12.[56]On compact solutions of operational-differential equations. I. With S. Bochner. Ann. of Math. vol. 36 (1935) pp. 255-291.

13.[80]Fourier integrals and metric geometry. With I. J. Schoenberg. Trans. Amer. Math. Soc. vol. 50 (1941) pp. 226-251.

14.[86]Approximative properties of matrices of high finite order, Portugaliae Mathematica vol. 3 (1942) pp. 1-62.

15.[91]Solution of linear systems of high order. With V. Bargmann and D, Montgomery. Report prepared for Navy BuOrd under Contract Nord-9596-25, Oct. 1946, 85 pp.

16.[94]Numerical inverting of matrices of high order. With H. H. Goldstine. Bull. Amer. Math. Soc. vol. 53 (1947) pp. 1021-1099.

17.[109]Numerical inverting of matrices of high order, II. With H. H. Goldstine. Proc. Amer. Math. Soc. vol. 2 (1951) pp. 188-202.

18.Kuhn, H. W., & Tucker, A. W. (1958). John von Neumann’s work in the theory of games and mathematical economics. Bulletin of the American Mathematical Society, 64(3), 100–123. doi:10.1090/s0002-9904-1958-10209-8

19.[17]Zur Theorie der esellschaftsspiele, Math. Ann. vol. 100 (1928) pp. 295-320.

20.[72]über ein ?konomisches Gleichungssystem und eine Verallgemeinerung Brouwerschen Fixpunktsatzes, Erg. eines Math. Coll., Vienna, edited by K. Menger, vol. 8, 1937, pp. 73-83.

21.[102]Solutions of games by differential equations. With G. W. Brown, "Contributions to the Theory of Games,n Ann. of Math. Studies, no. 24, Princeton University Press, 1950, pp. 73-79.

22.[113]A certain zero-sum two-person game equivalent to the optimal assignment problem. "Contributions to the Theory of Games,* Vol. II, Ann. Of Math. Studies, no. 28, Princeton University Press, 1953, pp. 5-12.

23.[114]Two variants of poker. With D. G. Gillies and J. P. Mayberry. "Contributions to the Theory of Games," Vol. II. Ann. of Math. Studies, no. 28, Princeton University Press 1953, pp. 13-50.

24.[90]Theory of games and economic behavior. With O. Morgenstern. Princeton University Press (1944, 1947, 1953) 625 pp.

25.譯者注：亞伯拉罕·瓦爾德（Abraham Wald，1902-1950），羅馬尼亞裔美國統(tǒng)計學家。二戰(zhàn)時在戰(zhàn)機損傷問題中考慮了幸存者偏差問題。

26.譯者注：里奧尼德·赫維克茲（Leonid Hurwicz,1917-2008），2007年諾貝爾經濟學獎得主，開創(chuàng)了機制設計理論。

27.American Economic Review vol. 35 (1945) pp. 909-925.

28.譯者注：雅各布?馬爾沙克（Jacob Marschak）經濟學家，西方信息經濟學創(chuàng)始人之一。1959年，他發(fā)表《信息經濟學家評論》一文，標志著信息經濟學的誕生。

29.Journal of Political Economy vol. 54 (1946) pp. 97-115.

30.[84]The statistics of the gravitational field arising from a random distribution of stars, I. With S. Chandrasekhar. The Astrophysical Journal vol. 95 (1942) pp. 489-531.

31.[88]The statistics of the gravitational field arising from a random distribution of stars. II. The speed of fluctuations', dynamical friction*, spatial correlations. With S. Chandrasekhar. The Astrophysical Journal vol. 97 (1943) pp. 1-27.

32.[108]Discussion of the existence and uniqueness or multiplicity of solutions of theaerodynamical equations (Chapter 10) of the Problems of Cosmical Aerodynamics, Proceedings of the Symposium on the Motion of Gaseous Masses of Cosmical Dimensions held at Paris, August 16-19, 1949. Central Air Doc. Office, 1951, pp. 75-84.

33.[100]A method for the numerical calculation of hydrodynamic shocks. With R. D. Richtmyer. Journal of Applied Physics vol. 21 (1950) pp. 232-237.

34.查尼（Jule Charney）和他在氣象學問題上合作密切，可參考[104]Numerical integration of the barotropic vorticity equation. With J. G. Charney and R. Fjortoft. Tellus 2 (1950) pp. 237-254.

35.[120]Can we survive technology?, Fortune, June, 1955.

36.譯者注：借用了莎士比亞《暴風雨》的臺詞“the great globe itself”。

37.譯者注：ENIAC，全稱為Electronic Numerical Integrator And Computer，即電子數(shù)字積分計算機，于1946年2月14日在美國宣告誕生。ENIAC是繼ABC（阿塔納索夫-貝瑞計算機）之后的第二臺電子計算機和第一臺通用計算機。它是完全的電子計算機，能夠編程，解決各種計算問題。

38.譯者注：關于閉合解，可參見
https://mathworld.wolfram.com/Closed-FormSolution.html

39.Hubert: Problèmes futurs des Mathématiques, Comptes-Rendus, 2ème Congrès International de Mathématiques, Paris, 1900.

本文基于知識創(chuàng)作共享許可協(xié)議（CC BY-NC 4.0），譯自S. Ulam, John von Neumann 1903-1957, Bull. Amer. Math. Soc. 64 (1958), 1-49，原文鏈接：

https://www.ams.org/journals/bull/1958-64-03/S0002-9904-1958-10189-5/S0002-9904-1958-10189-5.pdf

出品：科普中國

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