“氫彈之父”烏拉姆：我的朋友馮·諾伊曼 | 紀(jì)念馮·諾伊曼誕辰120周年（上）

2023年12月28日是匈牙利裔數(shù)學(xué)家、物理學(xué)家、計(jì)算機(jī)科學(xué)家、工程師約翰·馮·諾伊曼120周年誕辰。他的傳奇一生做過(guò)太多貢獻(xiàn)，甚至只把他的重要工作羅列并簡(jiǎn)要解釋都是一般專業(yè)人士力所不及的。在馮·諾伊曼去世時(shí)，《美國(guó)數(shù)學(xué)學(xué)會(huì)公報(bào)》（Bulletin of the American Mathematical Society）推出了一期紀(jì)念專輯，其中著名數(shù)學(xué)家、“氫彈之父”烏拉姆撰寫了長(zhǎng)篇文章，按時(shí)間順序介紹馮·諾伊曼生平和工作。我們將其全文翻譯（分兩篇推送），或許從烏拉姆的講述中我們可以了解到馮·諾伊曼為何能做出如此之多貢獻(xiàn)的原因。謹(jǐn)以此文以紀(jì)念這位偉大的全才型學(xué)者。

撰文 | 斯塔尼斯拉夫·烏拉姆（Stanis?aw Ulam）

翻譯 | 圓圓

1957年2月8日，約翰·馮·諾伊曼（John von Neumann）逝世。數(shù)學(xué)界失去了最具獨(dú)創(chuàng)性、最有洞察力、最多才多藝的頭腦；科學(xué)界則失去了一個(gè)蓋世全才，也失去了一位獨(dú)特的數(shù)學(xué)詮釋者。他能帶來(lái)最新的（并開發(fā)潛在的）方法，將其應(yīng)用于物理學(xué)、天文學(xué)、生物學(xué)和新技術(shù)。許多杰出人物已經(jīng)講述并贊揚(yáng)了他的貢獻(xiàn)。這篇文章的目的是，以我們相識(shí)并持續(xù)了25年的友誼為背景，簡(jiǎn)要介紹他的生活和工作。（編者注：文中介紹的論文編號(hào)為作者整理附錄列表的編號(hào)，我們以注釋方式列在文后。）

簡(jiǎn)要生平

約翰·馮·諾伊曼（昵稱“約翰尼”，在美國(guó)家喻戶曉）于1903年12月28日出生在匈牙利布達(dá)佩斯（當(dāng)時(shí)是奧匈帝國(guó)的一部分），是家里三個(gè)男孩中的老大。他的家庭很富裕；他的父親馬克斯·馮·諾伊曼（Max von Neumann）是一位銀行家。約翰尼很小的時(shí)候就接受了私人教育。在1914年，第一次世界大戰(zhàn)爆發(fā)時(shí)，他才十歲，進(jìn)入路德教會(huì)中學(xué)。

在第一次世界大戰(zhàn)前后的二十年里，布達(dá)佩斯被證明是孕育科學(xué)人才的超級(jí)沃土。為何這里能催生出如此眾多的杰出人才，這要留給科學(xué)史家去發(fā)現(xiàn)和解釋了（他們的名字在當(dāng)今的數(shù)學(xué)和物理學(xué)年鑒上比比皆是；編者注：參見《這個(gè)不起眼的小國(guó)，走出了科學(xué)史上最杰出的一群人》）。約翰尼可能是這群科學(xué)家中最耀眼的明星。當(dāng)被問(wèn)及是什么導(dǎo)致了這種統(tǒng)計(jì)學(xué)上不太可能出現(xiàn)的現(xiàn)象時(shí)，他會(huì)說(shuō)，這是一些他無(wú)法精確解釋的文化因素的巧合：中歐地區(qū)整個(gè)社會(huì)所承受的外部壓力，個(gè)人潛意識(shí)中的極度不安全感，以及必須產(chǎn)生不尋常的東西，否則會(huì)面臨滅亡的必要性。第一次世界大戰(zhàn)打破了原有的經(jīng)濟(jì)和社會(huì)模式。布達(dá)佩斯，曾經(jīng)是奧匈帝國(guó)的第二首都，現(xiàn)在是一個(gè)小國(guó)的主要城市。對(duì)許多科學(xué)家來(lái)說(shuō)，他們不得不移民，到其他不那么受限制和偏遠(yuǎn)的地方謀生。

據(jù)他的同學(xué)費(fèi)爾納（Fellner）說(shuō)1，約翰尼與眾不同的能力引起了一位早期教師拉斯洛·拉茲（László Rátz）的注意。他向約翰尼的父親表示，在學(xué)校按傳統(tǒng)的方式教約翰尼數(shù)學(xué)是毫無(wú)意義的，他應(yīng)該接受數(shù)學(xué)私人輔導(dǎo)。于是，在庫(kù)爾沙克（József Kürschak）教授的指導(dǎo)下，由當(dāng)時(shí)還是布達(dá)佩斯大學(xué)助教的費(fèi)柯特（Michael Fekete）進(jìn)行輔導(dǎo)，約翰尼學(xué)習(xí)了各種數(shù)學(xué)問(wèn)題。

在1921年通過(guò)“matura”考試時(shí)（譯者注：歐洲許多國(guó)家的中學(xué)畢業(yè)考試，并以此獲大學(xué)入學(xué)資格），約翰尼已經(jīng)是公認(rèn)的專業(yè)數(shù)學(xué)家了。他的第一篇論文是與費(fèi)柯特合作的，完成時(shí)還不到18歲。在接下來(lái)的四年里，約翰尼注冊(cè)為布達(dá)佩斯大學(xué)數(shù)學(xué)專業(yè)學(xué)生，但大部分時(shí)間他是在瑞士的蘇黎世聯(lián)邦理工學(xué)院和柏林度過(guò)的，并在蘇黎世聯(lián)邦理工學(xué)院獲得了“化學(xué)工程師”（Diplomingenieur in Chemie）的本科學(xué)位。

在每學(xué)期末尾，他要為了通過(guò)課程考試回到布達(dá)佩斯大學(xué) (不參加聽課，這樣做多少有點(diǎn)不合規(guī)則)。他在布達(dá)佩斯獲得數(shù)學(xué)博士學(xué)位的同時(shí)，也在蘇黎世獲得了化學(xué)學(xué)位。在蘇黎世期間，他把大量業(yè)余時(shí)間花在數(shù)學(xué)問(wèn)題上，寫文章并和數(shù)學(xué)家們通信。當(dāng)時(shí)外爾（Hermann Weyl）和波利亞（George Pólya）都在蘇黎世，約翰尼與他們有過(guò)聯(lián)系。有一次，外爾短暫離開蘇黎世，在此期間，約翰尼替他上課。

值得注意的是，總的來(lái)說(shuō)，少年天才做出原創(chuàng)數(shù)學(xué)工作在歐洲并不少見。與美國(guó)相比，在專業(yè)教育方面似乎至少有兩三年的差距，這可能是由于美國(guó)在高中和大學(xué)之間實(shí)行了更密集的教育體系（預(yù)科）。然而，即使在神童中，約翰尼也是出類拔萃的。他在學(xué)生時(shí)代就開始了自己的原創(chuàng)性工作。1927年，他成為柏林大學(xué)的私俸講師（Privatdozent），以此身份工作了近3年。在那段時(shí)間里，由于在集合論、代數(shù)和量子理論方面發(fā)表的論文，全世界的數(shù)學(xué)家都知道了他。我記得在1927年，當(dāng)他來(lái)到利沃夫（Lwów，當(dāng)時(shí)屬于波蘭）參加一個(gè)數(shù)學(xué)家大會(huì)時(shí)，他在數(shù)學(xué)基礎(chǔ)和集合論方面的工作已經(jīng)很有名氣了。我們這群學(xué)生把他的成果當(dāng)作年輕天才工作的范例。

1929年，他來(lái)到漢堡大學(xué)，還是做私俸講師。1930年，他第一次來(lái)到美國(guó)，在普林斯頓大學(xué)任客座講師。我記得約翰尼告訴我，即使德國(guó)大學(xué)現(xiàn)有和未來(lái)的空缺職位寥寥無(wú)幾，但還有四十或六十個(gè)講師都渴望能在不久的將來(lái)當(dāng)上教授。約翰尼用他典型的理性方法計(jì)算了“三年內(nèi)”預(yù)期的教授任命數(shù)量是3，而（候選）講師有40個(gè)！他還感到即將到來(lái)的政治事件將使智力工作變得非常困難。

1930年，他接受了普林斯頓大學(xué)的客座教授職位，在一學(xué)年的部分時(shí)間里講學(xué)，然后在夏天回到歐洲。他于1931年成為普林斯頓大學(xué)的常任教授。1933年，他被邀請(qǐng)作為教授加入普林斯頓高等研究院（IAS），是研究院最年輕的終身成員。

約翰尼于1930年與瑪麗埃塔·科維西（Marietta Kovesi）結(jié)婚。他們的女兒馬瑞娜（Marina）1935年出生于普林斯頓。在研究院成立的最初幾年里，來(lái)自歐洲的訪問(wèn)學(xué)者會(huì)發(fā)現(xiàn)這里極為隨意，但科學(xué)氛圍異常濃厚。研究院的教授們的辦公室設(shè)在Fine Hall（普林斯頓大學(xué)的一部分），研究院和學(xué)校的各個(gè)院系中名人云集，無(wú)論在何時(shí)，這里都很可能是數(shù)學(xué)和物理領(lǐng)域人才最集中的地方之一。

應(yīng)約翰尼的邀請(qǐng)，我在1935年底第一次來(lái)到美國(guó)。維布倫教授（Oswald Veblen）和他的妻子安排了令人愉快的社交活動(dòng)，我發(fā)現(xiàn)馮·諾伊曼【和亞歷山大（James Waddell Alexander）】的房子幾乎成了各種聚會(huì)的根據(jù)地。那是經(jīng)濟(jì)蕭條的年代，但是研究院設(shè)法讓相當(dāng)數(shù)量的本地和來(lái)訪數(shù)學(xué)家過(guò)上相對(duì)無(wú)憂無(wú)慮的生活。

約翰尼的第一次婚姻以離婚告終。1938年夏天，他在布達(dá)佩斯的旅行中再婚，并把第二任妻子克拉拉·丹（Klára Dan）帶回了普林斯頓。他的家仍然是科學(xué)家們聚會(huì)的地方。他的朋友們都會(huì)記得他盛情款待，以及那里充滿智慧與風(fēng)趣的氛圍?？死髞?lái)成為第一批為電子計(jì)算機(jī)編寫數(shù)學(xué)問(wèn)題的程序員之一，這門藝術(shù)的一些早期技巧正是她創(chuàng)造的。

隨著歐洲戰(zhàn)爭(zhēng)的開始，約翰尼在研究所以外的活動(dòng)開始成倍增加。本文末尾列出了他的職位、組織成員資格等（編者注：將于下篇推出），僅僅從這個(gè)列表就可以讓我們了解約翰尼為政府內(nèi)外的各種科學(xué)項(xiàng)目所做的大量工作。

1954年10月，他被總統(tǒng)任命為美國(guó)原子能委員會(huì)成員。他請(qǐng)假離開了普林斯頓大學(xué)，并終止了除洲際彈道導(dǎo)彈委員會(huì)（ICBM Committee）主席之外的所有職務(wù)。（原子能）委員會(huì)主席，也是約翰尼多年的朋友，海軍上將施特勞斯（Lewis Strauss）發(fā)現(xiàn)委員會(huì)有空缺后立即建議提名約翰尼。關(guān)于約翰尼在委員會(huì)的短暫服役，他寫道：

“在他獲得任命之日到1955年深秋之間的這段時(shí)間里，約翰尼發(fā)揮了巨大的作用。他擁有極其寶貴的能力，能夠把最困難的問(wèn)題拆分成幾個(gè)部分，于是一切變得非常簡(jiǎn)單。而所有人都在想為什么我們不能像他那樣清楚地看到答案。通過(guò)這種方式，他極大地促進(jìn)了原子能委員會(huì)的工作?！?/p>

約翰尼的健康狀況一直很好，但從1954年開始他看起來(lái)非常疲憊。1955年夏天，他通過(guò)X射線檢查發(fā)現(xiàn)了致命疾病的最初跡象。一場(chǎng)漫長(zhǎng)而殘酷的疾病逐漸結(jié)束了他所有的活動(dòng)。最后他在華盛頓的沃爾特·里德醫(yī)院去世，享年53歲。

朋友心中的馮·諾伊曼

在約翰尼朋友的記憶中，他總是以特有的姿勢(shì)站在黑板前或在家里討論問(wèn)題。不知何故，他的手勢(shì)、微笑和目光所觸總是能反映其思想，或者所討論問(wèn)題的本質(zhì)。他中等身材，年輕時(shí)相當(dāng)苗條，后來(lái)變得越來(lái)越胖了；他走路時(shí)步幅很小，速度從來(lái)都不是很快，但加速度卻相當(dāng)隨機(jī)。每當(dāng)一個(gè)問(wèn)題表現(xiàn)出邏輯或數(shù)學(xué)悖論的特征時(shí)，他的臉上就會(huì)閃過(guò)微笑。除了喜好抽象的智慧，他還非常欣賞（甚至可以說(shuō)是饑渴）更接地氣的喜劇和幽默。

他的頭腦似乎匯集了多種能力，它們即使不是相互矛盾的，可能至少是獨(dú)立的——每種能力都需要強(qiáng)大的專注力和記憶力，以至于極少出現(xiàn)在同一個(gè)人身上。這些能力是：集合論方式的，形式上基于代數(shù)形式的數(shù)學(xué)思想的感覺；對(duì)古典數(shù)學(xué)分析和幾何方面本質(zhì)內(nèi)容的認(rèn)識(shí)和理解；以及對(duì)現(xiàn)代數(shù)學(xué)方法在理論物理現(xiàn)有問(wèn)題和新問(wèn)題方面的潛在應(yīng)用的敏銳感知。所有這一切都可以通過(guò)他杰出的原創(chuàng)性工作得到具體的證明，這些成就涵蓋了當(dāng)代科學(xué)思想非常廣泛的領(lǐng)域。

他與朋友們就科學(xué)問(wèn)題的對(duì)話可能持續(xù)數(shù)小時(shí)，他從來(lái)都不缺話題，即使不是數(shù)學(xué)主題。

約翰尼對(duì)人有濃厚的興趣，喜歡八卦。人們常常會(huì)覺得，他正憑自己的記憶收集人類的各種特性，仿佛在準(zhǔn)備一項(xiàng)統(tǒng)計(jì)研究。他也關(guān)注時(shí)間流逝帶來(lái)的變化。他年輕時(shí)曾多次向我提到，他認(rèn)為在大約26歲之后，創(chuàng)造性的數(shù)學(xué)能力會(huì)下降，但因經(jīng)驗(yàn)積累而發(fā)展出的某種更平淡無(wú)奇的閱歷和機(jī)智能夠彌補(bǔ)這種逐漸喪失的能力，至少在一段時(shí)間內(nèi)是如此。后來(lái)，他把這一限制年齡逐漸提高了。

他偶爾會(huì)在談話中對(duì)其他科學(xué)家進(jìn)行評(píng)價(jià)，總的來(lái)說(shuō)，他的看法相當(dāng)寬容，但也經(jīng)常明褒暗貶。其實(shí)他表達(dá)的判斷非常謹(jǐn)慎，他不愿意對(duì)其他人發(fā)表任何最終意見：“讓拉達(dá)曼迪斯（Rhadamanthys）和米諾斯（Minos；譯者注：他們是希臘神話中冥界的審判官）……判斷……”有一次他被問(wèn)及此事，他說(shuō)他認(rèn)為埃哈德·施密特（Erhard Schmidt）和外爾是對(duì)他影響很大的數(shù)學(xué)家，特別是在他早期工作的技術(shù)方面。

約翰尼被許多人視為優(yōu)秀的委員會(huì)主席（這是一項(xiàng)特殊的現(xiàn)代活動(dòng)）。他會(huì)極力強(qiáng)調(diào)自己的技術(shù)觀點(diǎn)，而在個(gè)人或組織事務(wù)上很容易順從。

盡管他擁有強(qiáng)大的能力，也對(duì)這些能力有充分意識(shí)，但他缺乏一定的自信。約翰尼非常欽佩幾位數(shù)學(xué)家和物理學(xué)家，認(rèn)為他們擁有自己無(wú)法達(dá)到的最高程度的品質(zhì)。我認(rèn)為令他有這種感覺的品質(zhì)是，對(duì)新真理的直覺，一種相對(duì)簡(jiǎn)單的思維能力；或者是一種天賦——對(duì)新定理的陳述或證明的看似不合理的洞察。

他非常清楚，數(shù)學(xué)工作的價(jià)值標(biāo)準(zhǔn)在某種程度上是純粹審美的。他曾表達(dá)過(guò)這樣的擔(dān)憂：在我們現(xiàn)在的文明中，抽象的科學(xué)成就的價(jià)值可能會(huì)減弱，“人類的利益可能會(huì)改變，目前對(duì)科學(xué)的好奇可能會(huì)停止，未來(lái)人類的思維可能會(huì)完全不同?！庇幸淮握勗挼闹行氖遣粩嗉铀俚募夹g(shù)進(jìn)步和人類生活方式的變化，這讓人覺得我們似乎正在接近一些人類歷史的基本奇點(diǎn)，超過(guò)了奇點(diǎn)，我們所知道的人類事務(wù)就無(wú)法繼續(xù)下去。

約翰尼的朋友們喜歡他絕妙的幽默感。在科學(xué)同行中，他可以用數(shù)學(xué)家的表達(dá)方式，對(duì)歷史或社會(huì)現(xiàn)象做出具有啟發(fā)性（通常是諷刺性）的評(píng)論，表現(xiàn)出只有在空集中命題才正確的那種內(nèi)在幽默。這些通常只有數(shù)學(xué)家才能欣賞。當(dāng)然，他并不認(rèn)為數(shù)學(xué)是神圣不可侵犯的。我記得在洛斯阿拉莫斯的一次關(guān)于物理問(wèn)題的討論，其中數(shù)學(xué)論證使用了遍歷變換（ergodic transformations）和不動(dòng)點(diǎn)（fixed point）的存在。他突然笑著說(shuō)：“現(xiàn)代數(shù)學(xué)終究可以應(yīng)用！我們不清楚它是先驗(yàn)的，對(duì)吧，但它可能會(huì)是……”

他在科學(xué)之外的主要興趣是研究歷史，他對(duì)古代歷史的了解令人難以置信地詳細(xì)。例如，他能記住吉本（Edward Gibbon）的《羅馬帝國(guó)衰亡史》（The History of the Decline and Fall of the Roman Empire）中的所有軼事，并喜歡在晚飯后參與歷史討論。在一次南下去杜克大學(xué)參加美國(guó)數(shù)學(xué)學(xué)會(huì)（American Mathematical Society，AMS）的會(huì)議的旅行中，途徑南北戰(zhàn)爭(zhēng)的戰(zhàn)場(chǎng)附近，他對(duì)戰(zhàn)斗里最細(xì)枝末節(jié)的故事的熟悉程度讓我們感到震驚。這種百科全書式的知識(shí)通過(guò)某種“解析延拓”，塑造了他對(duì)未來(lái)事件進(jìn)程的看法。我可以作證，在對(duì)導(dǎo)致第二次世界大戰(zhàn)的政治事件和戰(zhàn)爭(zhēng)期間軍事事件的預(yù)測(cè)中，他的大多數(shù)猜測(cè)都出奇的正確。然而在大戰(zhàn)結(jié)束后，他認(rèn)為極有可能會(huì)立即發(fā)生災(zāi)難，幸運(yùn)的是，他的擔(dān)憂被證明是錯(cuò)誤的。也許有一種傾向，他對(duì)歷史事件采取過(guò)于純粹的理性觀點(diǎn)，而這種傾向可能是由于過(guò)度形式化的博弈論方法造成的。

在其他成就中，約翰尼還是一位出色的語(yǔ)言學(xué)家。他非常清楚地記得他在學(xué)校學(xué)習(xí)的拉丁語(yǔ)和希臘語(yǔ)。除英語(yǔ)外，他還能說(shuō)流利的德語(yǔ)和法語(yǔ)。他在美國(guó)的演講以其文學(xué)性而聞名（只有個(gè)別他的朋友們喜聞樂見的標(biāo)志性錯(cuò)誤發(fā)音，例如“integhers”；譯者注：整數(shù)應(yīng)為“integers”）。在他頻繁來(lái)往于洛斯阿拉莫斯和圣達(dá)菲（新墨西哥州）期間，他對(duì)西班牙語(yǔ)的了解不太完美，在墨西哥旅行中，他試圖通過(guò)使用“新-卡斯蒂利亞語(yǔ)”來(lái)表達(dá)自己的意思，這是他自己創(chuàng)造的語(yǔ)言——把英語(yǔ)單詞帶上“el”前綴和適當(dāng)?shù)奈靼嘌勒Z(yǔ)結(jié)尾。

戰(zhàn)前，約翰尼會(huì)在歐洲度過(guò)暑假并做一些講座（1935年在劍橋大學(xué)，1936年在巴黎的亨利·龐加萊研究所）。他經(jīng)常提到，由于緊張的政治氣氛，他發(fā)現(xiàn)在那里做科學(xué)工作幾乎是不可能的。而戰(zhàn)后，他只在迫不得已的情況下才出國(guó)旅行。

自從來(lái)到美國(guó)，他就對(duì)這里的機(jī)會(huì)表示贊賞，并對(duì)這里的科學(xué)工作的未來(lái)寄予厚望。

馮·諾伊曼的偉大成就

我們按時(shí)間順序回顧馮·諾伊曼的興趣和成就，很大程度上這也是回顧過(guò)去30年整個(gè)科學(xué)的發(fā)展。在他年輕時(shí)的工作中，他不僅關(guān)注數(shù)理邏輯和公理集合論，而且同時(shí)關(guān)注集合論本身的實(shí)質(zhì)，并在測(cè)度理論和實(shí)數(shù)理論中獲得了有趣的結(jié)果。

正是在這個(gè)時(shí)期，他也開始了自己在量子理論方面的代表性工作，即關(guān)于量子力學(xué)中的測(cè)量以及新統(tǒng)計(jì)力學(xué)的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)。他對(duì)希爾伯特空間上的算子的深入研究也可以追溯到這一時(shí)期。他的研究遠(yuǎn)遠(yuǎn)超出了物理理論的直接需求，例如他開創(chuàng)了具有獨(dú)立數(shù)學(xué)意義的算子環(huán)（譯者注：即馮·諾伊曼代數(shù)）的詳細(xì)研究；關(guān)于連續(xù)幾何的研究也是在這個(gè)時(shí)期開始的。

馮·諾伊曼對(duì)其他數(shù)學(xué)家獲得的結(jié)果及其蘊(yùn)含的潛力的認(rèn)識(shí)是驚人的。在其早期的工作中，博雷爾（émile Borel）關(guān)于極大極小性質(zhì)的論文啟發(fā)馮·諾伊曼寫出論文《社交游戲理論》（Zur Theorie der Gesellschaft-Spiele）2[17]，這些想法后來(lái)在他最具原創(chuàng)性的杰作之一——博弈論中達(dá)到頂峰。庫(kù)普曼（Bernard Koopman）關(guān)于通過(guò)函數(shù)空間上的算子處理經(jīng)典力學(xué)問(wèn)題的可能性的想法，啟發(fā)他給出數(shù)學(xué)上遍歷定理的第一個(gè)嚴(yán)格證明。哈爾（Alfréd Haar）對(duì)群中測(cè)度的建構(gòu)，為他巧妙地部分解決希爾伯特第五問(wèn)題提供了靈感，他證明了在緊群中引入解析參數(shù)的可能性。

在20世紀(jì)30年代中期，約翰尼對(duì)流體動(dòng)力學(xué)（hydrodynamics）中的湍流問(wèn)題著迷，他意識(shí)到了非線性偏微分方程背后的奧秘。從第二次世界大戰(zhàn)開始，他的工作就涉及對(duì)流體動(dòng)力學(xué)方程和沖擊理論的研究。這些非線性方程所描述的現(xiàn)象無(wú)法解析求解，甚至目前的方法連定性理解都不可能。在他看來(lái)，數(shù)值計(jì)算似乎是理解這類系統(tǒng)行為最有希望的方法。這促使他從一開始就研究了在“電子機(jī)器”上進(jìn)行計(jì)算的新可能性。他開始研究計(jì)算理論，并著手自動(dòng)機(jī)（automata）理論的工作，此理論至今仍在發(fā)展。正是在這些研究中，他對(duì)神經(jīng)系統(tǒng)的工作原理和生物體的系統(tǒng)化特性產(chǎn)生了濃厚興趣，并為此付出了許多精力。

這趟穿越數(shù)學(xué)科學(xué)眾多領(lǐng)域的旅程并不是躁動(dòng)不安的結(jié)果。這既不是對(duì)新穎性的追求，也不是對(duì)將一小部分通用方法應(yīng)用于許多不同特殊情況的愿望。與理論物理不同，數(shù)學(xué)并不局限于幾個(gè)核心問(wèn)題。馮·諾伊曼認(rèn)為，對(duì)統(tǒng)一的追求，如果建立在純粹的形式基礎(chǔ)上，那注定要失敗。這種廣泛的好奇心以一些元數(shù)學(xué)（metamathematical）動(dòng)機(jī)為基礎(chǔ)，并受到物理現(xiàn)實(shí)世界的強(qiáng)烈影響——那些物理現(xiàn)象可能在未來(lái)很長(zhǎng)一段時(shí)間內(nèi)都無(wú)法形式化。（編者注：可參見《楊振寧點(diǎn)評(píng)物理學(xué)的公理化》。）

數(shù)學(xué)家在開始創(chuàng)造性的工作時(shí)，經(jīng)常面臨兩種相互矛盾的動(dòng)機(jī)：第一種是為現(xiàn)有的大廈添磚加瓦——人們可以通過(guò)解決已有問(wèn)題而迅速獲得認(rèn)可；第二種是開辟新道路的愿望，融合已有認(rèn)知從而創(chuàng)造出新的領(lǐng)域。后一種做法是一項(xiàng)風(fēng)險(xiǎn)更大的事業(yè)，對(duì)其價(jià)值或成功與否的最終判斷只會(huì)在未來(lái)出現(xiàn)。在早期的工作中，約翰尼選擇的是第一種。而到了晚年，他對(duì)自己感到足夠自信，這才自由地但也是煞費(fèi)苦心地創(chuàng)建一門可能的新數(shù)學(xué)學(xué)科——自動(dòng)機(jī)和生物體的組合理論。（編者注：可參見《圖靈和馮·諾伊曼的遺產(chǎn)：生命計(jì)算機(jī)的架構(gòu)》）但疾病和早逝讓他只開了一個(gè)頭。

在他對(duì)（數(shù)學(xué)）適用性的不斷探索，以及對(duì)于所有精準(zhǔn)科學(xué)尋求一般數(shù)學(xué)的本能中，他會(huì)讓人想到歐拉、龐加萊，或者是更近代的，也許是赫爾曼·外爾。人們應(yīng)該記住，當(dāng)代問(wèn)題的多樣性和復(fù)雜性大大超過(guò)了前兩人所面臨的情況。約翰尼在他最后的一篇文章遺憾地指出，現(xiàn)在可能沒有任何一個(gè)大腦能學(xué)會(huì)純數(shù)學(xué)領(lǐng)域三分之一以上的知識(shí)。

早期工作：集合論與代數(shù)

馮·諾伊曼的第一篇論文與費(fèi)柯特合作，處理某些極小多項(xiàng)式的零點(diǎn)。這是關(guān)于切比雪夫多項(xiàng)式根的位置的費(fèi)耶爾定理的推廣，文章完成于1922年，發(fā)表時(shí)馮·諾伊曼還不到18歲。

另一部青少年時(shí)期的作品是關(guān)于一致稠密數(shù)列的論文（用匈牙利語(yǔ)寫作，而摘要是德語(yǔ)），文章證明了將一個(gè)稠密列重新排序可以得到一個(gè)一致稠密的序列。這項(xiàng)工作還沒有顯露其數(shù)學(xué)構(gòu)想未來(lái)會(huì)有的深度，也不存在技術(shù)上的困難，但是該論文主題的選擇和證明中技巧的簡(jiǎn)潔性預(yù)示著，他未來(lái)的研究將包含集合論直覺與代數(shù)技巧的結(jié)合。

一大批年輕數(shù)學(xué)家對(duì)集合論的重視，是那個(gè)時(shí)代的顯著特點(diǎn)。喬治·康托爾（George Cantor）的偉大思想通過(guò)偉大的法國(guó)人貝爾（René-Louis Baire）、博雷爾、勒貝格（Henri Lebesgue）和其他人的工作，最終在實(shí)變函數(shù)理論、拓?fù)鋵W(xué)和后來(lái)的分析學(xué)中得到了體現(xiàn)。在世紀(jì)之交，這些內(nèi)容還不是年輕數(shù)學(xué)家基本直覺的一部分。而在第一次世界大戰(zhàn)結(jié)束后，人們注意到這些思想對(duì)新一代數(shù)學(xué)家來(lái)說(shuō)，算是成為本能了。

關(guān)于超限序數(shù)的論文[2]3已經(jīng)展示了馮·諾伊曼用代數(shù)處理集合論的獨(dú)特方式和風(fēng)格。文章第一句話就坦率地說(shuō)：“這項(xiàng)工作的目的是具體而準(zhǔn)確地闡述康托爾的序數(shù)的概念?！闭缙湫蜓运?，康托爾本人此前有些模糊的表述可被策梅洛公理系統(tǒng)中給出的定義所取代。此外，他還概述了通過(guò)超限歸納進(jìn)行定義的嚴(yán)格基礎(chǔ)。論文引言強(qiáng)調(diào)了嚴(yán)格的形式主義方法，馮·諾伊曼甚至有些自豪地指出，符號(hào)….【用于表示等等（et cetera）】和類似的表達(dá)此前從未有過(guò)。這種對(duì)序數(shù)的處理方式——后來(lái)庫(kù)拉托夫斯基（Kazimierz Kuratowski）也考慮過(guò)——是至今介紹這一思想的最好方式，對(duì)抽象集合論中的“構(gòu)造”非常重要。依照馮·諾伊曼的定義，每個(gè)序數(shù)都是所有比其小的序數(shù)的集合，這就使序數(shù)的理論變得非常優(yōu)雅，并且可以避免序型（ordertype）的概念，而序型在某種程度上是模糊的，因?yàn)楣砑险撝信c某給定序同構(gòu)的所有序集并不構(gòu)成一個(gè)集合（并不存在）。

關(guān)于理想代數(shù)數(shù)的普呂弗理論（Priifer's theory）的論文[5]4暗示了他未來(lái)研究興趣的廣度。此文涉及集合論問(wèn)題以及相對(duì)素理想分支的枚舉問(wèn)題。普呂弗（Heinz Prüfer）將理想數(shù)作為“無(wú)限生成的同余關(guān)系的理想解”引入。馮·諾伊曼在這篇文章中所用的技術(shù)，類似于庫(kù)爾沙克（Kürschak）和鮑爾（Mihály Bauer）關(guān)于亨塞爾p-進(jìn)數(shù)（Hensel's p-adic numbers）的工作。在這里，他再次展示了將有窮代數(shù)上的構(gòu)造推廣到無(wú)窮領(lǐng)域（無(wú)窮可數(shù)與連續(xù)統(tǒng)情形）這一方法的有效性——這在接下來(lái)幾十年里的數(shù)學(xué)研究中變得非常普遍。另一個(gè)表明他對(duì)代數(shù)感興趣的跡象是一篇關(guān)于閔可夫斯基線性泛函理論的簡(jiǎn)短注釋[39]5。

馮·諾伊曼早期的大部分工作都能表現(xiàn)出他的公理化愿景，從某種意義上說(shuō)，他的想法比20世紀(jì)初邏輯學(xué)家最初設(shè)想的更形式化、更精確。從1925年到1929年左右，馮·諾伊曼的大多數(shù)論文都試圖傳播公理化精神，甚至對(duì)于物理理論也是如此。他不滿足于現(xiàn)有的表述，即使是集合論本身，他在關(guān)于集合論公理化的論文[3]6的第一句話再次坦率地指出7：“本工作的目的是對(duì)集合論進(jìn)行邏輯上無(wú)可爭(zhēng)議的公理化處理”；下一句話是這樣寫道：“我首先講一些公理化的困難，而這將使本文變得有價(jià)值?！?/p>

這篇1925年論文的最后一句話最有趣。馮·諾伊曼指出了任何公理系統(tǒng)形式化的局限性。這里也許是對(duì)哥德爾（Kurt G?del）關(guān)于形式系統(tǒng)中存在不可判定命題的一個(gè)模糊預(yù)測(cè)。最后一句話是：“就目前而言，我們能做的莫過(guò)于聲明這里存在對(duì)集合論本身的反對(duì)意見，而且現(xiàn)在還沒有辦法避免這些困難?！疽苍S在這里我們會(huì)想到一個(gè)完全不同的科學(xué)領(lǐng)域的類似說(shuō)法：泡利（Wolfgang Pauli）在《物理學(xué)手冊(cè)》（Handbuch der Physik；譯者注：介紹理論和實(shí)驗(yàn)物理學(xué)的“百科全書”，有數(shù)十卷）的文章中對(duì)相對(duì)論性量子理論現(xiàn)狀的評(píng)價(jià)，無(wú)窮大和發(fā)散在場(chǎng)論中仍然起著神秘的作用?！?/p>

他在該主題上的第二篇論文[18]8的標(biāo)題是“集合論的公理化”（Die Axiomatisierung der Mengenlehre，這篇論文在1925年的標(biāo)題是“集合論的一種公理化”）。

公理系統(tǒng)的簡(jiǎn)潔性令人驚訝，一階和二階對(duì)象的引入，分別對(duì)應(yīng)于樸素集合論中的集合和集合的性質(zhì)；這些公理打印下來(lái)只需要一頁(yè)多一點(diǎn)，卻足以建立幾乎所有的樸素集合論，并由此建立所有的現(xiàn)代數(shù)學(xué)。直到今天，這都是集合論數(shù)學(xué)的最佳基礎(chǔ)之一。哥德爾在其關(guān)于選擇公理的獨(dú)立性和連續(xù)統(tǒng)假設(shè)的偉大工作中，使用了一個(gè)受這種方法啟發(fā)的系統(tǒng)。值得注意的是，在馮·諾伊曼關(guān)于集合論公理化的第一篇論文中，他明確地認(rèn)識(shí)到數(shù)學(xué)家為了避免布拉利-福爾蒂悖論（Burali-Forti's paradox）、理查德悖論（Richard's paradox）和羅素悖論（Russell's paradox）而采取的兩個(gè)根本不同的方向。由羅素（Bertrand Russell）、科尼格（Julius K?nig）、布勞威爾（L. E. J. Brouwer）和外爾組成的小組采取了更激進(jìn)的觀點(diǎn)，即精確科學(xué)的整個(gè)邏輯基礎(chǔ)必須受到限制，以防止出現(xiàn)上述類型的悖論。馮·諾伊曼說(shuō)：“對(duì)他們工作的總體印象幾乎是令人崩潰的?！彼磳?duì)羅素將整個(gè)數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)建立在可疑的還原公理上（axiom of reducibility）；對(duì)于外爾和布勞威爾拒絕接受他所認(rèn)為的數(shù)學(xué)和集合論的大部分更有意義的內(nèi)容，他也表示反對(duì)。

他更為理解第二個(gè)不那么激進(jìn)的團(tuán)體，其中有策梅洛（Ernst Zermelo）、弗蘭克爾（Abraham Fraenkel）和舍恩弗利斯（Arthur Moritz Schoenflies）。馮·諾伊曼知道他們（也包括他自己）的工作還遠(yuǎn)未完成，他也明確指出了這些公理看起來(lái)似乎有些隨意。他說(shuō)，他們的公理化不能證明此形式系統(tǒng)不能推出矛盾，但即使樸素集合論在此意義上不能被完全嚴(yán)肅對(duì)待，至少它所包含的大部分內(nèi)容可以重述為形式系統(tǒng)中的證明，且這些“形式化”內(nèi)容可以被明確定義。

馮·諾伊曼給出了集合論基礎(chǔ)的第一個(gè)有限公理化，這些公理如同初等幾何的公理那樣具有簡(jiǎn)單的邏輯結(jié)構(gòu)。公理系統(tǒng)的簡(jiǎn)潔性和推理所采用的形式特征似乎實(shí)現(xiàn)了希爾伯特的目標(biāo)：將數(shù)學(xué)作為一個(gè)有限的游戲。從這里我們可以看出馮·諾伊曼未來(lái)對(duì)計(jì)算機(jī)和證明的“機(jī)械化”感興趣的根源。

從這些公理開始，推導(dǎo)集合論的大多數(shù)重要概念時(shí)，其代數(shù)運(yùn)算的效率是驚人的；這種處理方式的經(jīng)濟(jì)性似乎表明，本質(zhì)上的簡(jiǎn)潔更能引起人們的關(guān)注，而不是為了簡(jiǎn)潔而追求技巧。這為用“機(jī)器”或“自動(dòng)機(jī)”的概念來(lái)研究有窮形式系統(tǒng)的局限性提供了基礎(chǔ)9。

令我感到奇怪的是，在許多關(guān)于集合論和相關(guān)領(lǐng)域話題的數(shù)學(xué)討論中，馮·諾伊曼的思考似乎也是形式化的。大多數(shù)數(shù)學(xué)家在討論這些領(lǐng)域的問(wèn)題時(shí)，腦袋中似乎都有一個(gè)直觀的框架——基于幾何或者能表示抽象集合的圖示、箭頭之類的。而馮·諾伊曼給人的感覺是，他是通過(guò)純粹的形式演繹按順序推演來(lái)思考的。我想說(shuō)的是，他的直覺基礎(chǔ)——就像其他更“直接”的直覺（譯者注：意思是本能的直覺）——可以產(chǎn)生新的定理和證明，他的這種直覺類型似乎非常罕見。如果按照龐加萊的說(shuō)法，把數(shù)學(xué)家分成兩類——視覺直覺和聽覺直覺，約翰尼可能屬于后者。而在他身上，“聽覺直覺”可能非常抽象。更確切地說(shuō)，這涉及形式語(yǔ)言的證明游戲以及這些符號(hào)的數(shù)學(xué)解釋之間的聯(lián)系和轉(zhuǎn)化。這兩者有點(diǎn)像用代數(shù)符號(hào)記錄的棋盤走法和在腦海中描繪真實(shí)的棋盤之間的區(qū)別。

在最近的一些關(guān)于數(shù)學(xué)基礎(chǔ)現(xiàn)狀的討論中，馮·諾伊曼似乎在暗示，在他看來(lái)，故事還遠(yuǎn)沒有講完。哥德爾的發(fā)現(xiàn)使得我們應(yīng)該用一種新方法來(lái)理解數(shù)學(xué)中形式主義的作用，而不是就此終結(jié)這一話題。

他的論文[16]10給出[2]中非正式討論的嚴(yán)格公理化處理。該論文的第一部分介紹了集合論中的基本運(yùn)算，等價(jià)、同構(gòu)（similarity）、良序等理論的基礎(chǔ)，最后在對(duì)序數(shù)處理的基礎(chǔ)上，證明了有限或超限歸納定義的可能性。馮·諾伊曼在論文引言的最后正確地指出，在以前集合論的任何公理或非公理系統(tǒng)中都沒有嚴(yán)格地介紹過(guò)超限歸納法。

也許馮·諾伊曼關(guān)于集合論公理的論文中最有趣的是[23]11。文章探討了滿足某一性質(zhì)的所有集合能構(gòu)成一個(gè)新的集合的充要條件。此條件是，不存在所有集合的類到滿足該性質(zhì)的集合的類的一個(gè)單射。此集合的存在性原則被馮·諾伊曼用作為公理12，而其他系統(tǒng)中假設(shè)的一些公理，特別是選擇公理，都可由它推導(dǎo)得到?，F(xiàn)在我們也證明了反之亦然，即這些其他公理也可以推導(dǎo)出這一馮·諾伊曼公理。因此，如果通常的公理是一致的，那么該公理也是一致的。

他在《數(shù)學(xué)雜志》（Mathematische Zeitschrift）上的偉大論文[12]13《關(guān)于希爾伯特的證明論》（Zur Hilbertschen Beweistheorie）專門研究了數(shù)學(xué)中避免矛盾的問(wèn)題。這項(xiàng)經(jīng)典研究闡述了一般數(shù)學(xué)的形式主義背后的原始思想。原文強(qiáng)調(diào)由希爾伯特發(fā)起并發(fā)展、伯內(nèi)斯（Paul Bernays）和阿克曼（Wilhelm Ackermann）等人也參與過(guò)的這個(gè)復(fù)雜問(wèn)題，尚未得到令人滿意的解決。特別是，馮·諾伊曼指出阿克曼關(guān)于一致性的證明不能用于經(jīng)典分析，我們只能用嚴(yán)格的有窮方法證明其某個(gè)子系統(tǒng)的一致性。事實(shí)上，馮·諾伊曼證明了（盡管他沒有明確陳述這一點(diǎn)），關(guān)于有限（即可判定）關(guān)系的量詞和命題連詞的邏輯理論是一致的。這與希爾伯特的原始計(jì)劃，即完全使用嚴(yán)格有限的方法，所能獲得的極限相去不遠(yuǎn)。但馮·諾伊曼當(dāng)時(shí)推測(cè)，全部分析的一致性都可以用同樣方法證明。目前，人們始終會(huì)有這樣一種印象，即希爾伯特及其學(xué)派的工作所闡發(fā)的思想，以如此精確的方式發(fā)展，隨后再由哥德爾徹底革新，但尚未終結(jié)。也許我們正處于另一個(gè)偉大的進(jìn)程之中：對(duì)集合論“樸素”地處理，以及源自我們對(duì)無(wú)限性的直覺而做出的元數(shù)學(xué)形式化的嘗試，正在轉(zhuǎn)向未來(lái)的“超集合論”。數(shù)學(xué)史上并不少見的是，頂尖數(shù)學(xué)家對(duì)現(xiàn)有科學(xué)問(wèn)題的直覺，或者更確切地說(shuō)，一種共有的模糊感受，之后都被形式地納入進(jìn)一個(gè)涉及原有系統(tǒng)本質(zhì)的“超級(jí)系統(tǒng)”。

馮·諾伊曼對(duì)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)問(wèn)題的興趣一直持續(xù)到生命的最后一刻。在上述一系列論文誕生25年后，人們可以從他構(gòu)建的有關(guān)計(jì)算機(jī)邏輯中發(fā)現(xiàn)那些工作的印記。

馮·諾伊曼在研究數(shù)學(xué)基礎(chǔ)的同時(shí)，也在集合論本身以及由集合論中的問(wèn)題所驅(qū)動(dòng)的實(shí)變量理論和代數(shù)理論方面取得了獨(dú)特的進(jìn)展。例如，馮·諾伊曼構(gòu)造了一個(gè)與連續(xù)統(tǒng)等勢(shì)的實(shí)數(shù)子集，使其內(nèi)任何有限個(gè)元素都是代數(shù)無(wú)關(guān)的。而該證明沒有用到選擇公理。在同年發(fā)表在《數(shù)學(xué)基礎(chǔ)》（Fundamenta Mathematicae）上的一篇論文[14]14中，他給出將區(qū)間分解為可數(shù)個(gè)不相交且同余的子集的方法（譯者注：實(shí)數(shù)集的兩個(gè)子集是同余的當(dāng)且僅當(dāng)其中一個(gè)子集通過(guò)平移和對(duì)稱操作可得到另一個(gè)子集）。該方法解決了斯坦豪斯（Hugo Steinhaus）的一個(gè)問(wèn)題——需要一種特殊的構(gòu)造才能在區(qū)間上進(jìn)行這樣的分解。而豪斯多夫（Felix Hausdorff）對(duì)圓的相應(yīng)分解則要容易得多。（這是因?yàn)閳A周是一個(gè)群流形。）

在關(guān)于一般測(cè)度理論的論文[28]15中，馮·諾伊曼解決了群的子集的有限可加測(cè)度問(wèn)題。他將豪斯多夫的球面分解悖論，以及巴拿赫（Stefan Banach）和塔斯基（Alfred Tarski）對(duì)三維球體所做的絕妙分解的相關(guān)理論，從歐幾里得空間推廣到一般的非阿貝爾群（編者注：參見《數(shù)學(xué)家的魔術(shù)：一物生二物》）；巴拿赫關(guān)于存在平面所有子集的可加測(cè)度的肯定結(jié)果則被推廣到一般交換群的子集。約翰尼最后的結(jié)論是，所有可解群都是“可測(cè)的”（即可以在其中引入這樣的測(cè)度）。

該文將集合論中有關(guān)歐幾里得空間的結(jié)論推廣到了更一搬的拓?fù)浜痛鷶?shù)結(jié)構(gòu)中，這是類似的問(wèn)題和方法最初的實(shí)例之一，此后這種趨勢(shì)愈發(fā)顯著。兩個(gè)集合的“同余”被更廣義地理解為在某給定變換群作用下的等價(jià)性；測(cè)度則是廣義的可加函數(shù)。同樣，這個(gè)問(wèn)題的表述預(yù)示著哈爾的工作以及對(duì)豪斯多夫-巴拿赫-塔斯基悖論分解的研究16。

在1928年的“奇跡年”，馮·諾伊曼同時(shí)寫出了關(guān)于博弈論的文章。這是他在這個(gè)后來(lái)成為組合領(lǐng)域內(nèi)重要方向所寫的第一部作品，博弈論目前正在蓬勃發(fā)展，有非常多的應(yīng)用。很難相信，從1927年開始，在完成上述工作的同時(shí)，他還能發(fā)表大量關(guān)于量子理論的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)、量子統(tǒng)計(jì)理論中的概率問(wèn)題的論文，在連續(xù)群表示方面也得到了重要結(jié)果！

實(shí)變函數(shù)理論、測(cè)度論、拓?fù)?、連續(xù)群

哈爾莫斯（Paul Halmos）教授的文章描述了馮·諾伊曼對(duì)測(cè)度論的重要貢獻(xiàn)。而我們以他的其他貢獻(xiàn)為背景，簡(jiǎn)要介紹他在這一領(lǐng)域的工作。

論文[35]17解決了哈爾提出的一個(gè)問(wèn)題，關(guān)于函數(shù)類的代表元的選取，考慮有限系統(tǒng)的冪的乘積，以及定義在其上的線性流形；假如線性流形上的兩個(gè)函數(shù)在一個(gè)零測(cè)集以外都相等，則定義它們等價(jià)。這個(gè)問(wèn)題被推廣到勒貝格測(cè)度以外的測(cè)度，一個(gè)類似的問(wèn)題得到了明確的解決。

論文[45]18證明了測(cè)度論中的一個(gè)重要結(jié)論：（兩個(gè)測(cè)度空間中的）兩個(gè)可測(cè)集合類之間任意保測(cè)度的布爾映射（Boolean mapping）由一個(gè)保測(cè)度的點(diǎn)變換生成。這個(gè)結(jié)論對(duì)于證明更一般的完備可分測(cè)度空間等價(jià)于具有勒貝格測(cè)度的歐氏空間非常重要，這樣我們就能把所有可測(cè)集構(gòu)成的布爾代數(shù)簡(jiǎn)化為通常的勒貝格測(cè)度來(lái)研究。

在論文[51]19中，馮·諾伊曼證明了由哈爾構(gòu)造的哈爾測(cè)度的唯一性（參考 Ann. of Math. vol. 34, pp. 147-169），這種測(cè)度要求（勒貝格型）測(cè)度在群的左乘或右乘下保持不變。對(duì)于緊群而言，哈爾測(cè)度的唯一性在那時(shí)已經(jīng)得到了證明。馮·諾伊曼在他的證明中引入了一種不同于哈爾的構(gòu)造。這篇文章早于可分拓?fù)淙荷系母胖芷诤瘮?shù)（almost periodic functions）的一般理論的構(gòu)造，并與其正交表示論相兼容。

在論文[54]20中，馮·諾伊曼將以往只為度量空間定義的完備性概念推廣到線性拓?fù)淇臻g，同時(shí)得到了不是度量空間卻是完備空間的有趣例子。當(dāng)然，這種情況涉及到不可分空間。該論文還包含偽度量（pseudo-metric）和凸空間的新穎構(gòu)造。

在與約爾當(dāng)（Pascual Jordan）合作的一篇論文[59]21中，他們解決了由弗雷歇（René Maurice Fréchet）提出的線性度量空間中廣義希爾伯特空間的表征問(wèn)題。這篇文章加強(qiáng)了弗雷歇結(jié)果并得到一個(gè)充要條件：一個(gè)線性度量空間L同構(gòu)于希爾伯特空間，當(dāng)且僅當(dāng)每個(gè)2維線性子空間都同構(gòu)于歐氏空間。

論文[35]中的結(jié)果在一篇與馬歇爾·斯通（Marshall Harvey Stone）合作的文章[60]22中得到推廣。論文[35]處理了如下問(wèn)題：從一個(gè)抽象環(huán)模去一個(gè)給定的雙邊理想后，如何從剩余類中選取代表元。此論文包含了一系列有關(guān)布爾環(huán)模去一個(gè)理想后的表示論的結(jié)果。

在俄國(guó)雜志“Sbornik”的論文[64]23中，馮·諾伊曼再次研究了哈爾測(cè)度的唯一性問(wèn)題。先前的唯一性證明是通過(guò)不同于哈爾構(gòu)造的方法完成的，這種構(gòu)造不包含任意的元素，而且自動(dòng)地導(dǎo)出了測(cè)度的唯一性。而這篇文章給出了適用于局部緊可分群的雙不變外測(cè)度的唯一性的獨(dú)立方法?！就粫r(shí)期，韋伊（André Wei）給出了一個(gè)不同的證明。】

在與庫(kù)拉托夫斯基合作的論文[69]24中，對(duì)于由超限歸納法定義的某些實(shí)數(shù)集合的投影性，他們獲得一些精確而有力的結(jié)果。著名的勒貝格集25，以前被庫(kù)拉托夫斯基證明是屬于第三投射類 （projective class 3），現(xiàn)在它被證明是兩個(gè)解析集的差集，因此屬于第二投射類。他們借助于某些更普適的構(gòu)造，得到了關(guān)于集合解析特征（Hausdorff 意義下）的更一般的定理。這一結(jié)果對(duì)于目前尚不完善的射影集合理論似乎具有重要的意義。

發(fā)表在 Compositio Mathematica 上的綜述性論文《關(guān)于無(wú)窮直積》（On infinite direct products）[75]26，包括了算子的代數(shù)理論以及此系統(tǒng)的測(cè)度理論，這在現(xiàn)代抽象分析中非常重要。馮·諾伊曼總結(jié)了以前一些關(guān)于泛函算子的代數(shù)、算子環(huán)的拓?fù)?，包括不可分超希爾伯特空間（non-separable hyper-Hilbert spaces）的工作。從方法論角度以及實(shí)際構(gòu)造來(lái)說(shuō)，這篇論文包含了當(dāng)時(shí)代數(shù)研究的開拓性內(nèi)容，同時(shí)也是一篇優(yōu)秀的介紹性文章。從向量空間開始，文章最先處理它們的乘積，然后是這些結(jié)構(gòu)上的線性算子，最后處理這些算子的類，再次從“第一層次”開始考察這些算子作為向量空間的代數(shù)性質(zhì)。馮·諾伊曼打算將這個(gè)精巧的系統(tǒng)與量子理論中的超量子化（hyperquantization）作類比，并特別將此論文看作關(guān)于非可數(shù)乘積的數(shù)學(xué)準(zhǔn)備。

論文[24]27研究了希爾伯特第五問(wèn)題衍生出的一系列問(wèn)題：對(duì)連續(xù)群進(jìn)行參數(shù)變換是否可能使群運(yùn)算變得解析。在我看來(lái)，這篇論文是該領(lǐng)域取得的第一個(gè)重要成果。它處理了n維空間的線性變換群的子群，并得到肯定的結(jié)果：每個(gè)這樣的連續(xù)群都有一個(gè)正規(guī)子群，局部存在解析的參數(shù)表示，并且這樣的參數(shù)表述與有限個(gè)參數(shù)一一對(duì)應(yīng)。

這些定理第一次表明群性質(zhì)阻止了一元實(shí)變量函數(shù)理論中常見的“病態(tài)”（pathological）可能性。此論文通過(guò)將元素表示為指數(shù)算子的乘積，詳細(xì)地揭示了這些群的結(jié)構(gòu)，其結(jié)果后來(lái)被嘉當(dāng)（élie Cartan）推廣到一般李群的子群，并作了簡(jiǎn)化。這些結(jié)果表明，對(duì)于一個(gè)線性流形，如果它滿足以下性質(zhì)：若它包含矩陣U,V，則其同時(shí)也包含交換子UV-VU，這樣的線性流形是整個(gè)群G的一個(gè)無(wú)窮小群。這篇論文非常重要，因?yàn)樗缬诩萎?dāng)，而晚于阿多（Igor Dmitrievich Ado）。當(dāng)然，馮·諾伊曼自己的論文[48]28解決了緊群的希爾伯特第五問(wèn)題。

這個(gè)漂亮的結(jié)果基于哈爾的論文（發(fā)表于同一期），哈爾在連續(xù)群中引入了不變測(cè)度函數(shù)。馮·諾伊曼由此受到啟發(fā)，采用了類似于群上的Peter-Weyl積分，并使用關(guān)于積分算子的有限個(gè)特征函數(shù)的線性組合來(lái)逼近函數(shù)的定理（這是施密特博士論文提出的），以及巧妙運(yùn)用n維歐氏空間中區(qū)域不變性的布勞威爾定理，最終證明了緊致n維拓?fù)淙哼B續(xù)同構(gòu)于有限維空間的酉矩陣構(gòu)成的閉群。

此論文的方法允許我們把更一般的群（不一定是n維的）表示為這種n維群的無(wú)限乘積的子群。在論文的第二部分給出了一個(gè)例子：由作用在歐氏空間上的變換構(gòu)成的一個(gè)有限維非緊群，無(wú)論如何改變參數(shù)，都不能使這些變換成為解析的。這比希爾伯特第五問(wèn)題的完全解決，包括蒙哥馬利（Deane Montgomery）與格里森（Andrew Gleason）在“開”的（即非緊的）n維群情形的工作，要早幾乎20年。馮·諾伊曼能獲得這些成就，需要同時(shí)具備集合論、實(shí)變量技術(shù)的深刻知識(shí)，對(duì)布勞威爾拓?fù)渌枷氲闹庇X，以及對(duì)積分方程技巧和矩陣演算的真正理解。

在與約爾當(dāng)和維格納（Eugene Wigner）合作的論文中[50]29，我們可以發(fā)現(xiàn)馮·諾伊曼將抽象的代數(shù)思想與解析技巧兩者絕妙地結(jié)合起來(lái)，這是一篇關(guān)于量子力學(xué)形式化的代數(shù)推廣的論文，被認(rèn)為可能是量子力學(xué)理論未來(lái)推廣的起點(diǎn)，并處理交換但不結(jié)合的超復(fù)代數(shù)（hypercomplex algebras）?；窘Y(jié)果是，所有這些形式上實(shí)有限的，可交換的r-數(shù)系只是矩陣代數(shù)，只有一個(gè)例外。然而，這個(gè)例外對(duì)于量子理論所需的推廣來(lái)說(shuō)似乎太狹窄了。

在提交給《美國(guó)數(shù)學(xué)學(xué)會(huì)公報(bào)》的一個(gè)未正式發(fā)表的摘要中（附錄2[14]30），馮·諾伊曼提出了包含了關(guān)于3維球面的所有同胚構(gòu)成的群的單位分支的單性定理。實(shí)際定理是：任意給定兩個(gè)（均不為恒等映射的）同胚A, B，存在A的有限個(gè)數(shù)（23已經(jīng)足夠了）的共軛使得它們的乘積等于B。

希爾伯特空間、算子理論與算子環(huán)

在希爾伯特空間、算子理論與算子環(huán)方面，馮·諾伊曼對(duì)這些課題所做的基礎(chǔ)且全面的研究可以在他與默里（Francis Joseph Murray）教授和卡迪森（Richard V. Kadison）教授的論文中找到。他對(duì)這個(gè)主題的最初興趣源于對(duì)量子理論嚴(yán)格的數(shù)學(xué)表述。

1954年，馮·諾伊曼在美國(guó)國(guó)家科學(xué)院（National Academy of Sciences）的一份調(diào)查問(wèn)卷中表示，他認(rèn)為這項(xiàng)工作位列他自己最重要的三項(xiàng)數(shù)學(xué)貢獻(xiàn)之一。僅就篇幅而言，這些主題的論文約占他出版著作的三分之一。其中包含對(duì)線性算子性質(zhì)非常詳細(xì)的分析，以及對(duì)無(wú)窮維空間的算子類（算子環(huán)）的代數(shù)研究。這些成果實(shí)現(xiàn)了他在《量子力學(xué)的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)》（Mathematische Grundlagen der Quantenmechanik）一書中宣稱的目的，即證明了最早由希爾伯特提出的數(shù)學(xué)思想能夠?yàn)榱孔游锢淼於ǔ浞值幕A(chǔ)，沒有必要為這一物理理論引入新的數(shù)學(xué)體系。

馮·諾伊曼對(duì)酉空間線性性質(zhì)的分類詳細(xì)得令人難以置信，解決了許多有關(guān)無(wú)界算子的問(wèn)題。它給出了完整的超極大變換（hypermaximal transformations）理論，使希爾伯特空間幾乎與有限維歐幾里得空間一樣，完全在數(shù)學(xué)家的掌握之中。

在整個(gè)學(xué)術(shù)生涯中，馮·諾伊曼對(duì)這一主題始終保持著興趣。甚至直到最后，在從事其他研究工作的同時(shí)，他還得到并發(fā)表了關(guān)于算子性質(zhì)和譜理論的結(jié)果。論文[106]31發(fā)表于1950年，是為了祝賀施密特75歲生日而寫的（是施密特帶領(lǐng)他認(rèn)識(shí)到了這一主題的魅力）。至少在酉的情形及其線性變換中，探索非緊致性的奧秘方面，沒有人比馮·諾伊曼做得更多。在今后很長(zhǎng)一段時(shí)間內(nèi)，這個(gè)方向的工作將以他的結(jié)果為基礎(chǔ)。這項(xiàng)工作現(xiàn)在正由他的合作者和以前的學(xué)生（特別是默里）以及其他人大力推進(jìn)，我們完全可以期待他們會(huì)對(duì)線性算子性質(zhì)提出更有價(jià)值的見解。

格理論與連續(xù)幾何

伯克霍夫（Garrett Birkhoff）的文章《馮·諾伊曼和格理論》（Von Neumann and lattice theory），記載了約翰尼關(guān)于格理論和連續(xù)幾何方面的工作。馮·諾伊曼對(duì)這些理論的興趣同樣是基于這些新的組合和代數(shù)結(jié)構(gòu)在量子理論的潛在應(yīng)用。

大約在1935年，伯克霍夫從戴德金（Richard Dedekind）的原始表述中發(fā)展和推廣了格理論。大約同一時(shí)期，馬歇爾·斯通系統(tǒng)地闡述了布爾代數(shù)在代數(shù)理論和集合論方面的性質(zhì)。我記得在1935年夏天，伯克霍夫、斯通和馮·諾伊曼從一個(gè)莫斯科數(shù)學(xué)會(huì)議回來(lái)的路上，在華沙停留，并在華沙數(shù)學(xué)學(xué)會(huì)的一次會(huì)議上，做了關(guān)于這些領(lǐng)域新進(jìn)展的簡(jiǎn)單演講，還包括量子理論邏輯的新表述。這之后的討論使人們對(duì)用一般布爾代數(shù)和格論的語(yǔ)言來(lái)描述量子理論所具有的潛在應(yīng)用產(chǎn)生了期待。后來(lái)馮·諾伊曼曾多次回到這些嘗試當(dāng)中，但他在這個(gè)方向上的大部分想法只記錄在未發(fā)表的筆記里32。

他對(duì)連續(xù)幾何和無(wú)點(diǎn)幾何（geometries without points）的研究基于這樣一種信念，即量子理論的原始概念與此類對(duì)象有關(guān); 顯然，“物理的論域”（universe of discourse）則由希爾伯特空間中等同的點(diǎn)構(gòu)成的若干類或線性流形組成。（狄拉克在他的書中明確指出了這一點(diǎn)。）

這些相關(guān)工作有些在專題討論會(huì)中得到了介紹，其內(nèi)容載于普林斯頓研究院講義（Princeton Institute Lectures）；有些以手稿的形式保存下來(lái)。在與馮·諾伊曼討論這些問(wèn)題時(shí)，我的印象是，大約從1938年開始，他覺得核物理中的現(xiàn)有問(wèn)題與新發(fā)現(xiàn)產(chǎn)生了完全不同類型的新問(wèn)題，而堅(jiān)持用數(shù)學(xué)上完美無(wú)缺的體系來(lái)闡述量子理論變得不那么重要了。戰(zhàn)爭(zhēng)結(jié)束后，他表達(dá)了一些類似于愛因斯坦的觀點(diǎn)，認(rèn)為核物理和基本粒子物理的豐富程度令人困惑，因此任何建立一般量子場(chǎng)論的嘗試都為時(shí)過(guò)早，至少那時(shí)是這樣。（未完待續(xù)）

注釋

1. 這一信息是費(fèi)爾納在一封回憶約翰尼早期學(xué)習(xí)情況的信中傳達(dá)的。

2. [17]Zur Theorie der Gesellschaftsspiele, Math. Ann. vol. 100 (1928) pp. 295-320.

3. [2]Zur Einfiihrung der transfiniten Ordnungszahlen, Acta Univ. Szeged vol.1 (1923) pp. 199-208.

4. [5]Zur Priiferschen Theorie der idealen Zahlen, Acta Univ. Szeged vol. 2 (1926) pp. 193-227.

5. [39]Zum Beweise des Minkowskischen Satzes über Linearformen, Math. Zeit. vol. 30 (1932) pp. 1-2.

6. [3]Eine Axiomatisierung der Mengenlehre, J. Reine Angew. Math. vol. 154 (1925) pp. 219-240.

7. 關(guān)于此文，耶路撒冷希伯來(lái)大學(xué)的Fraenkel教授給我寫了以下內(nèi)容：“大約在1922年-1923年，我當(dāng)時(shí)是馬爾堡大學(xué)的教授，我從柏林的埃哈德.施密特教授（代表Mathematicische Zeitschrift的編輯部）那里收到了一份陌生作者的很長(zhǎng)的手稿，署名是Johann von Neumann，標(biāo)題為Die Axiomatisierung der Mengenlehre，這是他最終的博士論文，但直到1928年才發(fā)表于《數(shù)學(xué)雜志》（Mathematische Zeitschrift，第27卷）。我被征求意見，因?yàn)槲恼滤坪蹼y以理解。我并不認(rèn)為自己什么都了解，但足以看出這是一部杰作，我認(rèn)出了“獅子的爪子”（ex ungue leonem）。而要回答這些問(wèn)題，我邀請(qǐng)這位年輕的學(xué)者到馬爾堡訪問(wèn)，和他一起討論，并強(qiáng)烈建議他準(zhǔn)備一篇非正式的論文來(lái)解釋這篇技術(shù)性很強(qiáng)的文章，強(qiáng)調(diào)解決問(wèn)題的新途徑及其基本結(jié)果。為此他寫了一篇題為《門格勒的公理》（Eine Axiomatisierung der Mengenlehre）的文章，之后我于1925年在《純數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)雜志》（Journal für die reine und angewandte Mathematik，154卷）上發(fā)表了它，當(dāng)時(shí)我是該雜志的副主編?！?/p>

8. [18]Die Axiomatisierung der Mengenlehre, Math. Zeit. vol. 27 (1928) pp.669-752.

9. 當(dāng)然，這正是萊布尼茨的想法。

10. [16]über die Definition durch trans finite Induktion, und verwandte Fragen der allgemeinen Mengenlehre, Math. Ann. vol. 99 (1928) pp. 373-391.

11. [23]über eine Widerspruchfreiheitsfrage der axiomatischen Mengenlehre, J. Reine Angew. Math. vol. 160 (1929) pp. 227-241.

12. 哥德爾說(shuō):“這個(gè)公理的有趣的地方在于它是一個(gè)極大性原則，有些類似于幾何中的希爾伯特完備性公理。粗略地講，它是說(shuō)任何集合，只要不以一種明確定義的方式導(dǎo)致矛盾，它就存在。作為一個(gè)極大原則，它也解釋了這樣一個(gè)事實(shí)，即這個(gè)公理蘊(yùn)含選擇公理。我認(rèn)為抽象集合論的基本問(wèn)題，如康托爾的連續(xù)統(tǒng)問(wèn)題，只有在此類更強(qiáng)公理的幫助下才能得到令人滿意的解決。這類公理在某種意義上是與數(shù)學(xué)的構(gòu)造主義解釋相反或互補(bǔ)的?！?/p>

13. [12]Zur Hilbertschen Beweistheorie, Math. Zeit. vol. 26 (1927) pp. 1-46.

14. [14]Zerlegung des Intervalles in abzahlbar viele kongruente Teilmengen, Fund. Math. vol. 11 (1928) pp. 230-238.

15. [28]Zur allgemeinen Theorie des Masses, Fund. Math. vol. 13 (1929) pp. 73-116.

16. 最近由R. M. Robinson推向最極端的最小形式 。

17. [35]Algebraische Reprasentanten der Funktionen “bis auf eine Menge vom Uaasse Null,” J. Reine Angew. Math. vol. 161 (1931) pp. 109-115.

18. [45]Einige Satze uber messbare Abbildungen, Ann. of Math. vol. 33 (1932) pp. 574-586.

19. [51]Zum Haarschen Maass in topologischen Gruppen, Compositio Math. vol. 1 (1934) pp. 106-114.

20. [54]On complete topological spaces, Trans. Amer. Math. Soc. vol. 37 (1935) pp. 1-20.

21. [59]On inner products in linear, metric spaces. With P. Jordan. Ann. of Math, vol. 36 (1935) pp. 719-723.

22. [60]The determination of representative elements in the residual classes of a Boolean algebra. With M. H. Stone. Fund. Math. vol. 25 (1935) pp.353-378.

23. [64]The uniqueness of Haar's measure, Rec. Math (Mat. Sbornik) N. S. vol.1 (1936) pp. 721-734.

24. [69]On some analytic sets defined by transfinite induction. With C. Kuratowski. Ann. of Math. vol. 38 (1937) pp. 521-525.

25. Journal de Mathématiques, 1905, Chapter VIII.

26. [75]On infinite direct products, Compositio Math. vol. 6 (1938) pp. 1-77.

27. [24]über die analytischen Eigenschaften von Gruppen linearer Transformationen und ihrer Darstellungen, Math. Zeit. vol. 30 (1929) pp. 3-42.

28. [48]Die Einfiihrung analytischer Parameter in topologischen Gruppen, Ann. of Math. vol. 34 (1933) pp. 170-190.

29. [50]On an algebraic generalization of the quantum mechanical formalism. With P. Jordan and E. Wigner. Ann. of Math. vol. 35 (1934) pp. 29-64.

30. [14]Zerlegung des Intervalles in abzahlbar viele kongruente Teilmengen, Fund. Math. vol. 11 (1928) pp. 230-238.

31. [106]Zur Algebra der Funktionaloperatoren und Theorie der normalen Operatoren, Math. Ann. vol. 102 (1929) pp. 370-427.

32. 吉文斯教授（Wallace Givens）正在準(zhǔn)備一份講義，不久將由普林斯頓出版社出版。另一篇寫于1935年的關(guān)于連續(xù)幾何的論文發(fā)表在《數(shù)學(xué)年鑒》（Annals of Mathematics）。

本文基于知識(shí)創(chuàng)作共享許可協(xié)議（CC BY-NC 4.0），譯自S. Ulam, John von Neumann 1903-1957, Bull. Amer. Math. Soc. 64 (1958), 1-49，原文鏈接：

https://www.ams.org/journals/bull/1958-64-03/S0002-9904-1958-10189-5/S0002-9904-1958-10189-5.pdf

出品：科普中國(guó)

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