CPU的工作原理3——如何加減乘除

我們知道CPU的主要功能就是運(yùn)算，加減乘除運(yùn)算的基礎(chǔ)是加法運(yùn)算，所以我們先來(lái)看如何制作一個(gè)加法器。

我們所說的加法器當(dāng)然是指二進(jìn)制的加法，請(qǐng)看下圖：

左邊表格是二個(gè)一位二進(jìn)制數(shù)相加的情況分析（二進(jìn)制沒有2，只能通過進(jìn)位用10描述）。目標(biāo)有了，怎么實(shí)現(xiàn)呢？之前介紹過的異或門的邏輯與此很像（右邊的表格），我們看到前三種情況的加法，異或門可以直接實(shí)現(xiàn)，而最后一種情況1+1的結(jié)果是0而不是10，這里面其實(shí)缺少了一個(gè)進(jìn)位，我們可以增加一個(gè)與門，解決進(jìn)位的問題。

電路圖是這樣的，其中異或門的輸出作為“和的個(gè)位數(shù)”，與門的輸出作為進(jìn)位。最終實(shí)現(xiàn)的結(jié)果如下表：

可能有人會(huì)想，1+1=10沒問題，但0+0=00,0+1=01很是奇怪，能否把前面的0去掉呢？其實(shí)我們不用擔(dān)心，這只是與我們的日常思維習(xí)慣有些沖突，并不影響結(jié)果的正確性，畢竟在一個(gè)數(shù)字前面加0和不加0的結(jié)果都一樣。

這樣我們就實(shí)現(xiàn)了一位二進(jìn)制數(shù)的加法電路，使用這個(gè)符號(hào)表示。

為什么叫“半加器”呢？因?yàn)檫€不完善，因?yàn)橐粋€(gè)完整的加法必然要考慮多位數(shù)相加，剛剛分析的只是一位數(shù)相加，如果有多位數(shù)，必然要考慮前一位數(shù)字相加后可能有進(jìn)位，這個(gè)進(jìn)位也要加進(jìn)來(lái)，所以還可以對(duì)這個(gè)電路繼續(xù)完善，直至滿足多位數(shù)相加，這個(gè)完善的加法電路就稱為全加器，用這個(gè)符號(hào)表示。

有了半加器、全加器，就可以實(shí)現(xiàn)多位二進(jìn)制相加了，例如二個(gè)八位二進(jìn)制數(shù)相加的電路如下：

可簡(jiǎn)化為：

減法器的過程稍顯復(fù)雜，因?yàn)闇p法不考慮進(jìn)位，但需要考慮借位，而借的這一位如何記錄，如何歸還都是問題，所以我們要想辦法將借位化解掉。我們先從熟悉的十進(jìn)制減法入手，例如35-16，用借位法很容易得出結(jié)果19，但現(xiàn)在我們要避免借位，怎么做呢？我們可以把式子變換一下：

35-16=35-16+100-100=35-16+99+1-100=35+（99-16）+1-100

這樣99-16就不涉及到借位，因?yàn)閷?duì)于二位數(shù)來(lái)說99是最大的。我們繼續(xù)變換式子：

35+（99-16）+1-100=35+83+1-100=118+1-100=119-100

這時(shí)又遇到減法，但是不涉及借位，只需把百位的1去掉即可，結(jié)果是19。雖然看起來(lái)繞了很大一個(gè)彎路，但我們成功地避免了借位。

接下來(lái)我們來(lái)看二個(gè)八位二進(jìn)制數(shù)相減的例子：

參考前面十進(jìn)制減法的例子，把這個(gè)式子轉(zhuǎn)換為：

這其中涉及到二次減法，其中：

觀察一下結(jié)果會(huì)發(fā)現(xiàn)，差和減數(shù)是按位取反的，也就是每位0、1正好相反，這個(gè)邏輯可以使用如下電路實(shí)現(xiàn)：

但問題是，該電路只會(huì)對(duì)輸入取反，而我們要做的是既能做加法也能做減法的電路，所以應(yīng)該在減法時(shí)實(shí)現(xiàn)反轉(zhuǎn)，改造電路如下：

當(dāng)做減法時(shí)，取反端=1，才對(duì)輸入取反，如果是加法，取反端=0，輸入不取反。我們將這個(gè)電路簡(jiǎn)化一下，稱為求補(bǔ)器：

有了求補(bǔ)器，我們就可以將第一個(gè)減法變?yōu)榧由先》春蟮慕Y(jié)果：

這樣就只剩下最后一個(gè)減法，減去100000000，這個(gè)邏輯很簡(jiǎn)單，只需將首位變?yōu)?即可，當(dāng)然是在做減法的時(shí)候。終于我們將所有的減法都化解掉了，現(xiàn)在我們使用加法器，再配合異或門就可以實(shí)現(xiàn)加減法運(yùn)算。

圖中有三個(gè)SUB端，這就是加減法的切換開關(guān)，當(dāng)SUB=0時(shí)，進(jìn)行加法運(yùn)算，當(dāng)SUB=1時(shí)，進(jìn)行減法運(yùn)算。在減法中，輸入B的數(shù)據(jù)會(huì)先通過求補(bǔ)器進(jìn)行取反，然后再和輸入A相加。另外通過加法器的CI（進(jìn)位輸入）可以實(shí)現(xiàn)結(jié)果+1（因?yàn)镾UB=1），最后加法器的CO進(jìn)位輸出（也就是結(jié)果的首位數(shù)據(jù)）通過一個(gè)異或門處理，減去1，最終得到最后的結(jié)果。

至此我們的電路已經(jīng)能做加減法了，而乘法就是多次加法，除法就是多次減法，所以我們也就能實(shí)現(xiàn)乘除的運(yùn)算了。