當幾何遇上物理：地球是個拓撲絕緣體？

物理學(xué)發(fā)展到20世紀，數(shù)學(xué)中的幾何被引入到物理理論中。愛因斯坦借助黎曼幾何構(gòu)建了廣義相對論，楊振寧發(fā)現(xiàn)規(guī)范場與纖維叢的對應(yīng)關(guān)系，而到1980年代后拓撲量子場論的誕生，又將物理學(xué)推向了新的高峰。幾何理論和相關(guān)概念在物理理論中大顯身手，以至于有很多人說“物理就是幾何”。如今這些由幾何誕生的物理概念，已經(jīng)深入到大氣科學(xué)、信息科學(xué)等許多領(lǐng)域，也為幾何學(xué)帶來新的生命力。

撰文 | 董唯元

物理理論經(jīng)常會被跨領(lǐng)域借鑒使用。近幾年氣象學(xué)家在研究海洋和大氣波動規(guī)律時，將地球類比為拓撲絕緣體[1-3]，從而借助物理學(xué)家研究拓撲相變的方法和結(jié)論，深刻理解了赤道開爾文波的形成機制。

開爾文波是一種因地球自轉(zhuǎn)偏向力（即科里奧利力）而形成的海洋和大氣波動。其最大的特點就是群速度與相速度相同，所以這種波不會在行走的過程中耗散，能夠跨越數(shù)千公里持續(xù)搬運能量，是形成厄爾尼諾等氣候現(xiàn)象的重要因素之一。

其實這種波早在1879年就已被發(fā)現(xiàn)，并以發(fā)現(xiàn)者命名。沒錯，發(fā)現(xiàn)者正是那位科學(xué)全才——開爾文勛爵，絕對溫標也是以他名字命名的。相信老勛爵一定不會想到，100多年后他所發(fā)現(xiàn)的海洋和大氣波動，竟然以如此奇特的方式與現(xiàn)代物理學(xué)產(chǎn)生聯(lián)系。即使老勛爵乘坐時光機來到當下，估計也不能快速理解為什么開爾文波竟然是一種“拓撲保護下的激發(fā)”。

現(xiàn)代物理學(xué)中幾乎無處不浸染著幾何概念和幾何語言，其深度和廣度是十九世紀的物理學(xué)家根本無法想象的。

微分幾何進入物理學(xué)

1915年橫空降世的廣義相對論，是物理學(xué)幾何化的第一個里程碑，微分幾何從此成為物理學(xué)家必須掌握的一門數(shù)學(xué)語言。

既然引力的本質(zhì)是時空彎曲，引力場強是時空曲率，那么擺弄彎曲流形的學(xué)問，自然成了學(xué)習(xí)廣義相對論的首要預(yù)備知識。所謂流形（manifold），可以認為就是各種各樣的圖形。比如土豆的表面是2維流形，而廣義相對論所研究的時空則是4維流形。

為了能夠計算，必須得在流形上建立坐標系。如果流形本身形狀比較奇怪，或者坐標系覆蓋能力有限，僅用一個坐標系無法覆蓋流形上所有的點，那么就需要在流形上選取多個點，每個點都可以建立局部坐標系覆蓋周邊鄰居，再把所有局部坐標系拼貼起來以覆蓋整個流形。

比如，以地球某時刻為原點的4維笛卡爾坐標系，就無法覆蓋到遠處黑洞的內(nèi)部，即使經(jīng)歷無窮長時間也只能到達很靠近黑洞視界的地方。然而這并不意味著時空本身在視界處被撕裂?？拷诙匆暯绲挠詈絾T可以以他自己的位置和某時刻為原點建立新的坐標系，這個坐標系既與我們的坐標系有交疊，又同時與黑洞內(nèi)的其他坐標系有重合。借助多個坐標系共同承托，就可以畫出一條光滑的世界線，連接地球和黑洞內(nèi)部，從而看出視界處時空本身仍然完好無損。

另外，要想討論曲率，得先讓流形固定不動，蠕動著的水母表面顯然不會有確定的曲率。而定型的含義等價于“流形上任意兩點之間存在確定的距離”，于是流形上關(guān)于距離的定義必然要先于曲率的定義。

叫作“度規(guī)”（metric），它回答了流形上每點與臨近的點之間該如何計算距離的問題。如果流形上每一點都有了自己的度規(guī)，那么整個流形也就被“石化”了，此時才可以計算曲率。

數(shù)學(xué)上對曲率的定義有若干種，物理學(xué)家最喜歡使用黎曼的定義方式。黎曼曲率可以用向量在移動過程中的變化來體會，所以在了解它之前，我們還需要先了解流形的彎曲會對向量的移動造成什么影響。

平直空間中向量可以隨便平移都不會發(fā)生改變，可是在彎曲空間中這種自由就不存在了。例如在上圖所示的球面上移動向量，同樣從赤道上出發(fā)開始“平動”（注意2維球面內(nèi)的向量方向只能切于球面），經(jīng)過橙色路徑后到達北極的指向與經(jīng)過藍色路徑到達北極的指向并不相同，這就是由球面的彎曲造成的效果。

黎曼曲率就是利用這種效果來定義流形上每點的曲率。具體做法是讓

這顯然是一個映射，從三個向量到一個向量的映射。提供這種映射功能的“機器”叫作張量（tensor），黎曼曲率就是張量，所以也被稱為黎曼張量。順便提一下，前面說到的度規(guī)也是張量。其實整個廣義相對論方程就是張量方程。

纖維叢與規(guī)范場

1954年閃亮登場的楊-米爾斯理論，為后續(xù)物理學(xué)幾何化的第二次浪潮埋下了伏筆。十幾年之后，物理學(xué)家突然發(fā)現(xiàn)纖維叢正是描述這一理論最恰當?shù)恼Z言。

所謂纖維叢（Fiber bundle），可以簡單粗暴地理解為渾身長毛的流形，每根毛對應(yīng)底流形上一點。這里的毛，也就是纖維，具有頗為抽象的內(nèi)涵，在不同的纖維叢理論中代表流形身上不同的附加物。這些附加物既可以是天生的，也可以是后天裝飾上去的。

最直觀的一種纖維，就是流形上每一點的切空間（tangent space），顧名思義是此點處所有向量生活的空間。下圖左側(cè)畫出的是個具體例子，其中底流形M是2維球面，藍色平面是M上P點的切空

種關(guān)系的抽象畫法。

前面在介紹曲率的時候曾經(jīng)含混地提到向量在流形上的“平動”，其實

切叢的概念直觀易懂，但還不是物理學(xué)家的強大武器，真正使物理學(xué)家愛不釋手的，是一種能夠包含對稱性的纖維叢。因為它過于核心重要，所以干脆被命名為主叢（principal bundle）。

談?wù)搶ΨQ性時，我們需要注意區(qū)分全局對稱性（global symmetry）和局域?qū)ΨQ性（local symmetry）這兩個完全不同的概念。前者是整個流形總體所擁有的對稱性，而后者則是每個點各自具備的屬性。后面的內(nèi)容會展示出，局域?qū)ΨQ性在物理中的重要地位要遠大于全局對稱性。

描述對稱性的數(shù)學(xué)語言是群，每一種對稱性都對應(yīng)特定的群。例如O(n)群和SO(n)群對應(yīng)著n維實數(shù)空間中的旋轉(zhuǎn)對稱，而U(n)群和SU(n)群則代表n維復(fù)數(shù)空間中的旋轉(zhuǎn)對稱。

我們所身處的3維空間中，任何轉(zhuǎn)動操作都可以拆解為繞x、y、z軸轉(zhuǎn)動這三種基本操作的某種組合。也就是說，如果把SO(3)群自己也看作一個空間的話，維數(shù)恰好也是3維。可是SO(4)群卻不同，4維空間中的轉(zhuǎn)動由6種基本操作組合而成[4]，所以SO(4)群本身的維數(shù)是6不是4。

群本身也可以被看作一個空間，就像那個直觀的切空間一樣，所以也就能當作纖維插在底流形上，只不過每根纖維所代表的空間與底流形可能具有不同的維度數(shù)量。

這種插著群結(jié)構(gòu)的纖維叢就是主叢。纖維所代表的局域?qū)ΨQ性意味著，底流形上的函數(shù)Φ(x)，沿著纖維變動時，每個點上Φ(x)的值保持不變，所以主叢上的不同截面對Φ(x)來說是等價的。在物理上，像Φ(x)這樣具有局域?qū)ΨQ性的場統(tǒng)稱為規(guī)范場（gauge field）。

在物理學(xué)家眼中，時空本身就是一個纖維叢，各種基本相互作用就源自各種規(guī)范場，也就是攜帶不同對稱群的主叢的聯(lián)絡(luò)。引力場對應(yīng)SO(3, 1)，電磁場和弱力對應(yīng)U(1)×SU(2)，強力對應(yīng)SU(3)。

后面兩者合并起來，攜帶U(1)×SU(2)×SU(3)結(jié)構(gòu)的主叢整體是一個大空間，在這個空間里，宇宙中除引力之外的其他相互作用都漂亮地合并為一個對象。這就是堪與廣義相對論比肩的楊-米爾斯理論，是基本粒子標準模型最重要的理論基石。

來自拓撲理論的加持

拓撲學(xué)常被戲稱為玩弄橡皮泥的科學(xué)，它并不關(guān)心幾何圖形具體的形狀或大小，而只關(guān)注圖形在連續(xù)變化過程中那些不變的成分?？Х缺梢赃B續(xù)地變成甜甜圈，所以在拓撲視角看來，咖啡杯與甜甜圈就是同一種對象，因為二者身上孔洞的數(shù)量相同。顯然，孔洞的數(shù)量就是一種拓撲不變量。

不過數(shù)學(xué)家在說某甲和某乙在拓撲意義上相同時，會使用不同的術(shù)語來表達“相同”這個含義，常見的有同構(gòu)、同胚、同態(tài)、同倫、同調(diào)等等。由此可以窺見，拓撲理論并不像捏橡皮泥那么簡單。

另外，在數(shù)學(xué)這棵大樹上，拓撲理論的位置并不是邊界清晰的某一分支，甚至不僅限于幾何學(xué)領(lǐng)域之內(nèi)，而更像是四處纏繞的藤蔓。也正因如此，它往往能在許多問題上發(fā)揮出避繁就簡的奇特威力。

有個名為“毛球定理”的有趣定理，內(nèi)容是說，偶數(shù)維球面上的光滑切向量場必有零點。這個定理的2維情形非常直觀，其實就是說永遠無法完全撫平一個毛球，定理的名字正是因此而得。

作為對比，我們可以同樣直觀地看到，圓環(huán)面上的切向量場就可以處處非零，這說明流形的整體拓撲性質(zhì)與其上向量場的特性有密切聯(lián)系。

如果讀者感覺這個定理不過如此的話，不妨考慮由點源發(fā)出的電磁波，其波陣面就是一個2維球面，而且電磁波是橫波，場強方向總是切于波陣面。根據(jù)毛球定理，在波陣面上必有場強零點[5]?？墒?，波陣面上的每一點都有相同的振動相位，而且對點源來說，都是完全對稱的。是不是嗅到了魔術(shù)的味道呢？

當電磁波在某些特殊介質(zhì)中傳播的時候，其參數(shù)空間中也會出現(xiàn)這種適用毛球定理的情形。盡管描述動力學(xué)過程的一堆偏微分方程難以求解，但是僅憑拓撲性質(zhì)就可以判斷零點一定會出現(xiàn)。這種純粹由拓撲性質(zhì)所催生的特殊點往往對應(yīng)著某種“拓撲激發(fā)”。

拓撲理論之所以能夠發(fā)揮出巨大威力，憑借的是將各種拓撲不變量與物理場中的各種積分結(jié)果建立起聯(lián)系。從文章前面的部分已經(jīng)提過，物理場中的場強對應(yīng)幾何意義上的曲率，距離關(guān)系對應(yīng)著度規(guī)。如果物理場中的某種積分結(jié)果與場強和積分路徑長度都無關(guān)，那么翻譯成幾何語言就是，結(jié)果無關(guān)流形的曲率和度規(guī)，所以即使這個流形像水母一樣蠕動起來，積分結(jié)果也不會變化，那么這個結(jié)果應(yīng)該就只由流形的某種拓撲不變量決定。

基于這樣的思想，物理學(xué)家非常熱衷于研究各種各樣的積分結(jié)果，尤其是閉合環(huán)路或者閉合曲面上的積分結(jié)果。如果確實發(fā)現(xiàn)了某個與場強和路徑長度都無關(guān)的物理量，人們就會興沖沖地跑去拓撲學(xué)的倉庫中尋找與之相關(guān)的拓撲不變量。

關(guān)于積分路徑，聰明的物理學(xué)家們肯定不甘心手工逐個慢慢嘗試，而是喜歡運用能夠“批發(fā)”的研究策略。

我們先從一個傻問題開始。在一個平面上，從一個定點出發(fā)，畫一個閉合的曲線并最終回到定點，能有多少種畫法呢？答案很明顯，任意兩種畫法之間都是拓撲意義上相同的，用術(shù)語來說，所有路徑都是同倫的。

如果在平面上挖去一個洞，所有的路徑顯然就不再同倫，因為有些路徑可以收縮成一點，而有些路徑在收縮時會被洞擋住，無法收縮成一點。我們發(fā)現(xiàn)所有的路徑可以按照繞洞圈數(shù)分成若干類，繞洞圈數(shù)相同的路徑之間都同倫。

群可以用所有整數(shù)來表示，每個整數(shù)代表繞數(shù)為該整數(shù)的同倫路徑，因為繞行有分順時針和逆時針，可以兩相抵消，所以天然存在負整數(shù)的繞數(shù)。

就不做介紹了，只稍微提一下流形上的孔洞數(shù)量，以及剛才那個一筆畫游戲中的纏繞數(shù)，這些都是典型的拓撲不變量。此外繩結(jié)理論中對繩結(jié)的分類等，也屬于拓撲不變量。

最直觀的一個拓撲不變量是小學(xué)奧數(shù)中就已經(jīng)出現(xiàn)過的“歐拉示性數(shù)”，3維凸多面體總滿足V-E+F=2，其中V是頂點數(shù)，E是棱邊數(shù)，F(xiàn)是面數(shù)。因為3維凸多面體的表面都同態(tài)于2維球面，所以它們都擁有

不過歐拉示性數(shù)相同的流形未必全都同態(tài)，比如1維環(huán)、2維環(huán)面、莫比烏斯帶和克萊因瓶，這些流形的歐拉示性數(shù)都是0，但它們顯然不同態(tài)，甚至一些基本屬性都大相徑庭。

除了歐拉示性數(shù)之外，還有許許多多的拓撲不變量，受篇幅和本人學(xué)識所限，就不再列舉了。但有一個對現(xiàn)代物理學(xué)非常重要的拓撲不變量必須得提，那就是陳-西蒙斯作用量（Chern-Simons action）。

從這個名字就能看出，這個拓撲不變量天然就對應(yīng)一個物理上的積

普通的積分，而是生成整個物理場一切動力學(xué)屬性的核心，從最小作用量原理出發(fā)推導(dǎo)出運動方程的套路相信許多讀者都已經(jīng)爛熟于胸了。

至于這個拓撲不變量為什么天然對物理學(xué)如此友好，那是因為它出自物理學(xué)家之手——由目前唯一獲得過菲爾茲獎的物理學(xué)家威滕所發(fā)展而來。當然，他的工作基礎(chǔ)大量來自于陳省身等人前期成果，尤其是一個名為“陳-西蒙斯3-形式”的數(shù)學(xué)對象，所以這套由威滕等人引入物理學(xué)的理論，仍被稱為“陳-西蒙斯理論”。

正是以此為核心，威滕和施瓦茨等人為量子場論開辟出了一個全新的分支——拓撲量子場論（TQFT）。從某種意義上說，拓撲量子場論的出現(xiàn)，也進一步加重了整個現(xiàn)代物理學(xué)的幾何色彩。

小結(jié)

在近幾十年的發(fā)展過程中，現(xiàn)代物理學(xué)與現(xiàn)代幾何理論不僅相輔相成共同成長，而且還一同發(fā)展出許多通用性更強大的理論工具，廣泛服務(wù)于信息科學(xué)、經(jīng)濟學(xué)、社會科學(xué)等領(lǐng)域。文章開頭提到的氣象學(xué)研究成果，正是拓撲量子場論為這一領(lǐng)域做出的貢獻。

楊振寧曾經(jīng)對陳省身說：“非交換的規(guī)范場與纖維叢這個美妙的理論在概念上的一致，對我來說是一大奇跡。特別是數(shù)學(xué)家在發(fā)現(xiàn)它時沒有參考物理世界。你們數(shù)學(xué)家是憑空想象出來的?！标愂∩韰s立刻加以否認：“不，不，這些概念不是憑空想象出來的，它們是自然的，也是真實的！”

參考文獻及注釋

[1] Delplace, P., Marston, J. B., & Venaille, A. (2017). Topological origin of equatorial waves. Science, 358(6366), 1075–1077. https://doi.org/10.1126/science.aan8819

[2] Tong, D. (2022). "A Gauge Theory for Shallow Water". arXiv:2209.10574.

[3] McCormick, Katie (July 18, 2023). "How Quantum Physicists Explained Earth's Oscillating Weather Patterns". Quanta Magazine.

[4] 4維空間中的轉(zhuǎn)動軸是一個面而不是一條線，4條坐標軸兩兩組合，共有6個基本軸面。

[5] Bormashenko, Edward (2016-05-23). "Obstructions imposed by the Poincaré–Brouwer ("hairy ball") theorem on the propagation of electromagnetic waves". Journal of Electromagnetic Waves and Applications. 30 (8): 1049–1053. Bibcode:2016JEWA...30.1049B. doi:10.1080/09205071.2016.1169226. ISSN 0920-5071. S2CID 124221302

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