雖然很陌生，但它可能是你最好的朋友 | 數(shù)學(xué)之美

編者按：

高斯說：數(shù)學(xué)，科學(xué)的皇后。

老師說：奇變偶不變，符號看象限。

學(xué)生說：數(shù)學(xué)是火，點亮物理的燈； 物理是燈，照亮化學(xué)的路； 化學(xué)是路，通向生物的坑……

對于大部分人來說，數(shù)學(xué)讓人“又愛又恨”，那么，數(shù)學(xué)家眼中的數(shù)學(xué)世界又是怎樣的？

在“數(shù)學(xué)之美”系列的4篇文章中，讓我們跟隨一位數(shù)學(xué)工作者的目光，回望兩千年的數(shù)學(xué)史，追憶時間長河里的數(shù)學(xué)家，一起感受數(shù)學(xué)的魅力，體驗數(shù)字時代城市居民的生活，了解數(shù)學(xué)家遼闊深邃的思想，欣賞數(shù)學(xué)世界的美與藝術(shù)，感懷數(shù)學(xué)優(yōu)雅動人的傳承。

數(shù)學(xué)是什么？數(shù)學(xué)有什么用？

（圖片來源：veer圖庫）

相信每個人心目中都有自己模糊的答案。數(shù)學(xué)，可能是人們在現(xiàn)實生活中最陌生的朋友。

在公眾眼中，數(shù)學(xué)也許僅僅意味著數(shù)字的加減乘除，天氣的冷暖變遷，乃至股市的跌宕起伏。而且我們不得不承認(rèn)，生活中大多數(shù)場景用到的數(shù)學(xué)知識僅僅只需要小學(xué)的教育水平。

延綿兩千多年的數(shù)學(xué)文明，盡管數(shù)學(xué)已經(jīng)深邃得令人敬畏，卻依然沒有在現(xiàn)實世界中找準(zhǔn)它的生態(tài)位，難以展示它數(shù)千年來的精彩，也就很難讓世人感知它獨有的魅力。

和兩千多年以前相比，雖然數(shù)學(xué)正在發(fā)揮著越來越重要的作用，但它似乎仍然隱藏在世界的角落里，讓人們無從知曉，更無法理解?？萍际⒀缟系闹鹘牵３Ｊ钦Q生于物理、化學(xué)、生物、信息等等學(xué)科的突破性成果。這背后的推崇與榮譽，似乎總和數(shù)學(xué)無緣。

那么，是什么讓數(shù)學(xué)源遠(yuǎn)流長的美被忽略？又是什么讓數(shù)學(xué)廣博深邃的魂被深藏？

數(shù)學(xué)，是怎么變成今天這樣的？

如果我們回顧數(shù)學(xué)漫長的發(fā)展史，會發(fā)現(xiàn)對數(shù)學(xué)的熱忱和研究，大多時候代表了部分貴族的精神追求，數(shù)學(xué)的蓬勃發(fā)展則依賴于貴族之間的志趣交流。

對發(fā)現(xiàn)者而言，發(fā)明新的數(shù)學(xué)成果，更多的樂趣是享受到某種精神層面的喜悅。在物質(zhì)條件極其匱乏的年代，人們更關(guān)心的是生存條件和精神信仰。數(shù)學(xué)的特立獨行天然地在普羅大眾與精英之間形成了一道鴻溝。

自古希臘始，在兩千多年的時光歲月里，數(shù)學(xué)的長河逐漸流淌出逾百條支流。尤其是進(jìn)入20世紀(jì)以來，數(shù)學(xué)的理論和應(yīng)用真正有了廣袤的空間。建立在計算機和信息科技陣地上的數(shù)學(xué)分支，終于融入現(xiàn)代文明的基因。時至今日，數(shù)學(xué)內(nèi)部的分工越發(fā)精細(xì)。但大體而言，現(xiàn)代數(shù)學(xué)體系分化出四個演進(jìn)的主題，分別在理論、應(yīng)用、審美和傳承上演繹著自己的傳奇。

以理論研究為職業(yè)的基礎(chǔ)數(shù)學(xué)家指引了數(shù)學(xué)的前進(jìn)之光，以服務(wù)現(xiàn)實為目標(biāo)的應(yīng)用數(shù)學(xué)家預(yù)示著數(shù)學(xué)的實在方向，以創(chuàng)造精神美感為追求的藝術(shù)家融入了數(shù)學(xué)的審美立場，以教書育人為己任的老師則代表了數(shù)學(xué)的傳承發(fā)揚。

然而，無論數(shù)學(xué)的前景指向哪里，它底層的邏輯體系一直堅如磐石，它群星璀璨的成果不斷為現(xiàn)代物質(zhì)文明的大廈添磚加瓦。數(shù)學(xué)思想的涌現(xiàn)和創(chuàng)造日益成為一口取之不盡的甘泉，源源不斷地滋養(yǎng)著人類文明。

（圖片來源：Wikipedia）

你的生活里有多少“數(shù)學(xué)”？

現(xiàn)代人的世界，其實早已經(jīng)浸潤在數(shù)學(xué)的海洋里。如同空氣一樣，雖視而不見，卻無處不在。

數(shù)學(xué)起始于人類活動的需求，好奇心與求知欲則驅(qū)使著人類不斷探索抽象的數(shù)學(xué)世界。某種程度上來說，數(shù)學(xué)，正是人類最富智慧想象力的結(jié)晶。它不同于孩童時天馬行空的想象，后者的想象無需受制于邏輯的約束，而數(shù)學(xué)的想象卻建立在邏輯的正確推衍上。在數(shù)學(xué)的世界里，每前進(jìn)一步都在拓展人類想象力的極限。經(jīng)過幾千年前赴后繼的接力賽，這個由人類想象力構(gòu)筑的殿堂，與大眾的生活漸行漸遠(yuǎn)，猶如空中樓閣一樣遙不可及。唯有偶爾的一展身手，還在提醒著世人這一古老學(xué)科與真實世界的關(guān)聯(lián)。

著名的法國布爾巴基學(xué)派曾經(jīng)將數(shù)學(xué)比作一個城市，城市的規(guī)模就是數(shù)學(xué)的知識體系，并且這個體系在不斷擴張。而在城市內(nèi)部，建筑物和街道也在被不斷修繕或重建。這個城市的居民既是間接使用數(shù)學(xué)的諸多百姓，也是那些直接運用數(shù)學(xué)的普通人。

（圖片來源：veer圖庫）

一天有24小時，一年有365天。時間在精密地自我運轉(zhuǎn)，我們也在時間的約束下規(guī)劃人生。然而時間觀念的誕生與計量，卻源于古文明時期天文和歷法的進(jìn)步。正是數(shù)學(xué)幫助人類在其早期文明史上，第一次科學(xué)地認(rèn)識到世界的規(guī)律。

信息時代的生活離不開手機。手機里琳瑯滿目的程序正支配著大眾的決策。其中和生活息息相關(guān)的天氣預(yù)報已經(jīng)成為人們出行的必備指南。曾幾何時，天象是神秘和神圣的象征，只有極少數(shù)人才有權(quán)知道來自上天晦暗不明的指示。如今，人們就能在指尖輕易獲取天氣的信息。無論刮風(fēng)、下雨、陽光普照還是大雪紛飛，氣象局的預(yù)報總能為我們提供來自未來的秘密。天氣預(yù)報，已經(jīng)和人們的生活融為一體。這背后的原理，正是以流體動力學(xué)和混沌學(xué)為代表的數(shù)學(xué)應(yīng)用。

當(dāng)我們出門在外，無論是工作還是旅行，地圖和導(dǎo)航成了我們的左膀右臂。正是基于數(shù)學(xué)家發(fā)明的保角變換而制作的地圖，才讓建筑物在平面地圖上的相對位置與真實世界一一對應(yīng)。當(dāng)我們穿梭于繁忙的地鐵時，正是基于拓?fù)鋵W(xué)而簡化繪制的地鐵圖為人們提供了直接明了的視角。

（圖片來源：veer圖庫）

出租車的大量運營為城市居民提供了出行的便利，外賣行業(yè)的興起更是讓忙碌的人群足不出戶享受到全城的美食。正是基于GPS、中國北斗等衛(wèi)星快捷、準(zhǔn)確的實時定位，讓千千萬萬的人們享受到了這些城市規(guī)?；?、生活舒適化的便捷性。而這背后的功臣恰好是以洛倫茲變換為起點的狹義相對論和以黎曼幾何、張量代數(shù)為基礎(chǔ)的廣義相對論結(jié)出的豐碩果實。在醫(yī)療健康領(lǐng)域，CT的斷層掃描、冷凍電鏡下DNA分子與細(xì)胞的立體圖像、人類器官、組織與血管的再造技術(shù)，甚至基于靶向腫瘤抗癌藥物的研發(fā)，都不難看到拓?fù)鋵W(xué)、分析與幾何學(xué)的精準(zhǔn)應(yīng)用。

工作之余，準(zhǔn)備享受美食時，人們卻不曾看到食物背后的后廚優(yōu)化、蔬菜配送、種植育種等等配套的工程?，F(xiàn)代化食物產(chǎn)量和質(zhì)量的提升，從播種到收獲，都和現(xiàn)代數(shù)學(xué)的圖論、統(tǒng)籌、糧食統(tǒng)計學(xué)息息相關(guān)。

結(jié)束了一整天的忙碌后，現(xiàn)代人主要的休閑方式是使用手機、電腦、平板等等娛樂設(shè)備。毫無疑問，這些來自信息時代的科技饋贈，正是源自康托的集合論、羅素悖論、哥德爾不完備定理、圖靈機、馮諾依曼結(jié)構(gòu)的傳承。同時，互聯(lián)網(wǎng)背后默默運行的算法，諸如大數(shù)據(jù)、拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)等等更是保證了我們能夠及時、高速地與世界各地互通相連。

由Ada Lovelace編寫的世界上第一個計算機算法程序

（圖片來源：Wikipedia）

數(shù)學(xué)有什么用？你明白了么？

事實上，數(shù)學(xué)的應(yīng)用已經(jīng)無處不在。除了日常生活，生物、通信、高鐵、航空航天、軍工、股市、考古、電影等領(lǐng)域都在現(xiàn)代數(shù)學(xué)的分支里汲取養(yǎng)分。如果說現(xiàn)代公民生活的每一個場景都是一個應(yīng)用程序，數(shù)學(xué)，就是那底層的操作系統(tǒng)。我們看不見它，甚至無法感知，但卻明白它無與倫比的重要性。當(dāng)系統(tǒng)崩潰的時候，一切程序都將煙消云散、無法運行。

不僅如此，在漫長的時間長河里，數(shù)學(xué)也曾發(fā)揮過中流砥柱的作用。人類歷史上的三次工業(yè)革命都有數(shù)學(xué)的積極參與。第一次工業(yè)革命開啟了機械化時代，這其中，是牛頓與萊布尼茨發(fā)明的微積分引領(lǐng)了時代的步伐；第二次工業(yè)革命拉開了電氣化時代的序幕，其中居功至偉的當(dāng)屬麥克斯韋方程，正是電磁現(xiàn)象的數(shù)學(xué)解釋，讓人類大跨步邁入了現(xiàn)代文明；而第三次的工業(yè)革命則是以自動化為標(biāo)志，以相對論與黎曼幾何、布爾數(shù)學(xué)等等為標(biāo)桿，開辟出一條無比璀璨光明的道路。我們今天所享受的現(xiàn)代文明，都是前三次工業(yè)革命的福利。

如今，世界已經(jīng)來到第四次工業(yè)革命的前夕。這一次，人工智能、大數(shù)據(jù)、通訊技術(shù)、超算等等信息科技更是以數(shù)學(xué)為先鋒，披荊斬棘，引領(lǐng)人類馳向無比廣闊和光明的信息化時代。其中基于數(shù)論橢圓曲線而設(shè)計的區(qū)塊鏈技術(shù)、基于概率論貝葉斯估計的深度學(xué)習(xí)技術(shù)、融合傅里葉分析、小波分析、群論、圖論的Wi-Fi、5G，乃至6G通訊信息等等，不斷開拓國家的科技疆土，亦為人類文明的發(fā)展壯大貢獻(xiàn)智慧。

（圖片來源：Wikipedia）

不過，數(shù)學(xué)雖然這么“有用”，數(shù)學(xué)家還是會經(jīng)常遇到這個問題：“你們?yōu)槭裁纯傇谘芯繘]用的事？”

下一期，我們告訴你“為什么”。

作者：黃逸文