最美數(shù)學(xué)公式帶你玩轉(zhuǎn)數(shù)學(xué)

（一）圓周率π級數(shù)表達(dá)公式

自古以來，人們就癡迷于如何計(jì)算圓的周長。以拉丁字母π標(biāo)記的圓周率，其定義就是一個圓的周長相對于其直徑的比。盡管圓是如此地簡單和完美，在生活中更是有舉足輕重的應(yīng)用，但是眾多先賢對計(jì)算π的精確值卻一籌莫展。

早在古希臘時期，主流的畢達(dá)哥拉斯學(xué)派就認(rèn)為世界上所有的數(shù)都是有理數(shù)。具有諷刺意義的是，無理數(shù)正是畢達(dá)哥拉斯的弟子所發(fā)現(xiàn)，因?yàn)楹椭髁魉枷胂嚆＃罱K被其學(xué)派迫害身亡。然而對π是有理數(shù)還是無理數(shù)的爭論，以及如何簡單便捷地計(jì)算出π的具體值卻困擾了人們1000多年。

早在南北朝時期，中國的祖沖之用古老的算籌計(jì)算出圓周率π的近似值介于3.1415926到3.1415927之間。如此精確地測量圓周率有著積極的現(xiàn)實(shí)意義。他因此能夠修正古代的量器容積的計(jì)算，極大地改進(jìn)了生產(chǎn)實(shí)踐的需要。盡管如此，祖沖之的方法雖然簡單，但卻需要極為持久的耐心和仔細(xì)，以至于他的記錄直到一千多年后才被打破。圓周率π就好像一份寶藏，為它的主人牢牢地守護(hù)著自己的秘密。

這個公式將圓周率精確地表達(dá)為數(shù)學(xué)的級數(shù)公式，一舉揭示了作為無理數(shù)的終極秘密。它是由德國數(shù)學(xué)家萊布尼茨在1673年發(fā)現(xiàn)，也因此被后世稱為萊布尼茨公式。事實(shí)上，與萊布尼茨同時期的蘇格蘭數(shù)學(xué)家格列固里、印度數(shù)學(xué)家索馬亞吉均獨(dú)立發(fā)現(xiàn)了類似的級數(shù)公式。在參與人們的生活數(shù)千年后，圓周率π終于第一次清晰地展露出自己的真實(shí)面目。

（二）歐拉公式

這個公式是由瑞士數(shù)學(xué)家歐拉發(fā)現(xiàn)。該公式由5個數(shù)學(xué)上最簡單的符號組成，它通過3種基礎(chǔ)運(yùn)算，即加法、乘法和冪運(yùn)算就將1、0、π、i和e這五個數(shù)學(xué)中最重要的數(shù)字聯(lián)系在了一起，堪稱天才的完美之作。

它是數(shù)學(xué)與世界之間兼具理性色彩與深邃之美的巔峰之筆。它是純粹的數(shù)學(xué)之美，淋漓盡致地展現(xiàn)出數(shù)學(xué)作為跨文化、跨種族的通用語言的簡單與和諧，讓人們得以一窺數(shù)學(xué)穿越宇宙時空通行無礙的完美特性。

（三）傅里葉級數(shù)

特別的，對以【-π,π】為周期的可微分函數(shù)f(x)有如下的無窮級數(shù)表達(dá)式：

1807年，法國數(shù)學(xué)家傅里葉發(fā)現(xiàn)任何可微分的函數(shù)都可以用正弦函數(shù)與余弦函數(shù)的加和表示出來，不論原始函數(shù)的圖形多么詭異，這種表示都可以達(dá)到任意需要的精度。

透過傅里葉發(fā)明的數(shù)學(xué)工具，數(shù)學(xué)分析領(lǐng)域進(jìn)入了全新的時代。從數(shù)學(xué)的角度來看，傅里葉的定理告訴我們，任何曲線不論其本質(zhì)如何，都可以用數(shù)不盡的簡單曲線加以取代，或者說，所有曲線都可以用堆疊波紋的方式加以呈現(xiàn)。這提供了人們認(rèn)識事物的極為強(qiáng)有力的工具。

時至今日，世界上很多領(lǐng)域都受益于傅里葉級數(shù)的應(yīng)用。從震蕩分析到影像處理，從激動人心的音樂創(chuàng)作到信息時代大放異彩的通訊技術(shù)，到處都有傅里葉級數(shù)的蹤跡。甚至人們可以通過遙遠(yuǎn)星空所發(fā)出的光就能分析所在星球的化學(xué)成分，歷史上人們就是通過光的頻譜分析才逐步認(rèn)識到太陽發(fā)光發(fā)熱的秘密等等。這一切，都是傅里葉級數(shù)的應(yīng)用帶給世界文明的饋贈。

作者：黃逸文（中國科學(xué)院數(shù)學(xué)與系統(tǒng)科學(xué)研究院）