新的時代，我們需要什么樣的學習能力？

培根有名言：知識就是力量。但是，只有理解了的知識才是力量，只有善于思考的人才富于創(chuàng)造性。今天，科技的進步和人工智能的發(fā)展，已經(jīng)對人的智力提出了新的要求。舊時代人們尊崇那些擁有淵博知識的人，而在當代，只有能夠深入理解和創(chuàng)造人類知識的人才是真正擁有杰出頭腦的人。本文對于達成這樣的目的提供了一種方法和思想，雖然看似研究的是“教”與“學”的問題，但其讀者并非局限于學生和教師。應該說，它更適用于類似科學家、社會科學研究者和領導者，或者像這類人一樣思考問題的人。

?！斗禈恪返淖x者在新的一年都能擁有更棒的頭腦，和健康的體魄！

撰文 | 吳金閃（北京師范大學系統(tǒng)科學學院教授）

大家都知道學習是需要方法的，可是具體這個方法是什么，就不知道了。一個偷懶的或者無奈的回答是：無一定之規(guī)。我們看到很多學習很好的學生并不是把時間基本上都花在學習上。我自己當學生的時候就是這樣的一個人。可是，當我們思考，或者被問，到底什么學習方法使我們達到了這個效果的時候，我們通常說不出一個所以然來。我記得我自己曾經(jīng)給出的答案是多想，隨便想，不限制地想。盡管現(xiàn)在我已經(jīng)知道這個答案其實有道理（這個道理在本文中會用概念地圖理解型學習來解釋），但是，聽者和問者能從這個答案里面悟出多少就很難說了。我們還有這樣的一些經(jīng)驗或者體會：有些人當她們對一個領域熟悉到一定程度之后，她們可以“靈機一動地”或者“深思熟慮地”建立這個領域與其他領域的聯(lián)系；還有的人，他們可以提出和解決非常深刻非常困難的問題，而且往往這樣的解決問題的方法可以成為解決其他問題而不僅僅是原來的問題的基礎。我們往往把這樣的人稱作創(chuàng)造力很強的人。如果我們問這樣的人，什么提升了其創(chuàng)造性，能夠說出一個道理來的也不多。我自己也應該算這樣的人，常常會把不同領域的東西聯(lián)系在一起，也常常思考一門學科里面最深刻的幾個問題中的一兩個，盡管已經(jīng)解答的還不是很多。如果問我，事實上我也確實被問過，我的答案也基本上是多想，隨便想，不限制地想?？梢运闶锹杂行〕傻奈锢韺W家湯超——沙堆模型的原創(chuàng)者之一[1]——也被問過這個問題。他經(jīng)過幾分鐘的思考之后，以開玩笑的方式，給出的答案是，多看、多想、多聊。盡管現(xiàn)在我知道這個答案很有道理，但是聽者和問者能夠從這個答案中悟出真知的人也是少數(shù)。所以，高效率的學習和思考都是需要而且有方法的。這個道理大家都明白都同意?？墒?，方法是什么不知道。

高效率的教學也是需要而且有方法的。教學就是為了讓學生學會學習和思考，既然學習和思考是需要而且有方法的，那么教學自然也是需要而且有方法的。可是這個問題比前者還要難，可供參考的方法還要少。我們大概都聽說過，“教學是一門藝術”。凡是藝術就意味著能夠一般化程序化的東西少，個性化的東西多。很多有名的教師，例如Richard Feynman ——費曼物理學講義的作者、天才物理學家，Leonard Susskind——超弦理論的創(chuàng)立者之一、一系列斯坦福大學理論物理公開課的主講人，Michael Sandel——哈佛大學“Justice（正義）”公開課的主講人，Ben Polak——耶魯大學“Game Theory（博弈論）”公開課的主講人，都不是學教育出身，而是從自身的研究工作和研究領域出發(fā)體會出來的。好吧，既然如此，我們有沒有一些方法能夠提高教學的效率呢？有，但是，一般性的方法很少很少，不過，我們即將介紹的概念地圖教學方法就是一個。

學科大圖景

我們這里要介紹的概念地圖理解型學習是從“低能近似”的層次的研究中——“低能近似”不太好聽，我們給取它一個名字， 唯象研究，就是基本上從現(xiàn)象出發(fā)的，基本原理還不太清楚的研究——提出來的有效的學習和教學方法。除了這個提高學習和教學的效率的目標，更具體地，這個方法主要解決什么問題呢？解決學什么、怎么學，教什么、怎么教的問題。千萬不要認為學什么、教什么的問題是一個平庸的問題。當然，如果你認為什么都應該學應該教，學生就是應該盡可能地多學點，那么你不是本文的讀者。學生的總的時間是有限的，學習文化知識的時間更應該是有限的。學生的時間還需要花很大一部分來接觸不同的事物，了解和欣賞自然界，交朋友，發(fā)呆，爬樹，釣魚，游戲，運動，跟家人共度家庭時間，等等等等。花在任何一本不值得的書，或者一門不值得上的課，一個不值得學的知識點上的時間就意味著減少了本來可以用來增加生活體驗和生活樂趣的時間。尤其是當老師的我們，每一次我們沒有選擇最合適的內(nèi)容來教的時候，我們都在強制學生跟我們一起浪費時間，而且是很多的學生，并且是不得不跟我們一起浪費。因此，仔細地審視每一項教學內(nèi)容的必要性合理性是老師一定要去做的事情。當然，如果你是那種拿過一本書來就教，現(xiàn)在不主動思考教什么的問題，將來也不打算思考的老師，那么，你不是本文的讀者。

那么，學什么、教什么？舉個不太恰當?shù)睦?，而且正因為不恰當，反而更深刻。很多家長在孩子們很小的時候就教孩子們算加減法。很多孩子們對于加減法的認識是記憶性的，而不明白加減法的含義。也就是說，孩子們在開始的時候，不知道 1 + 1 = 2 意味著“一個單位的某種東西加上另外一個同樣的單位的同樣的東西，就是兩個單位的同樣的東西”這個含義，但是已經(jīng)能夠回答大人們問的問題，“某某， 1 + 1 等于幾呀？”。某些家長還為此偷偷地高興很多天。我現(xiàn)在要寫下來的論斷是：如果僅僅考慮加減法本身，除了為了明白加減法的含義需要一定量的計算練習，孩子們永遠不應該學習加減法的計算。任何加減法，只要孩子們已經(jīng)能夠把實際問題轉(zhuǎn)化成加減法的問題，那么學習的任務已經(jīng)完成了。當然，為了熟練地在實際問題和數(shù)學表達式之間做轉(zhuǎn)換，一定量的練習是必要的。但是，數(shù)學絕對不是做算術運算，這些運算的事完全可以交給計算器。同樣地，所有的微積分也不要學生去熟練去記憶，只需要學會把實際問題轉(zhuǎn)化成微積分的表達式。轉(zhuǎn)化完成之后，我們有 SageMath[2], Maple[3]之類的專門的工具來完成它。所以，為了算術而學算術，為了微積分而學微積分，可以休矣。

那么，數(shù)學到底應該學什么教什么，算術和微積分的運算，需要熟練嗎？需要，但是完全是因為其他原因。在數(shù)學上有一定造詣的讀者會明白，因式分解是重要的思考方法，很多困難的問題可以用因式分解的思路變得更簡單。要做好因式分解，需要對整數(shù)的加減乘除具有很好的感覺。熟悉算術運算就是為了培養(yǎng)這個感覺。變量替換和模塊化在分析很多復雜的問題中非常重要，足夠的微積分運算的訓練可以得到一雙敏銳的眼睛，提示你做合適的變量替換和把問題模塊化。所以，這兩個不太合適的例子很好，我很喜歡。也就是說，一個東西值不值得學，值不值得教，除了考慮學生和老師作為個體的興趣（這個我們不管，有的人就是喜歡做一本百科全書，喜歡去挑戰(zhàn)王小丫、李詠、漢字英雄、我愛記歌詞，這是他們的自由。對了，這樣的人也不是本文的讀者。），最主要的是看學了這個東西可以用來理解或者創(chuàng)造性地運用哪些其他的東西或者解決什么樣的問題，看這個東西在整個學科里面的地位，體現(xiàn)了這個學科的學科大圖景的哪些方面。當然，我這里假設我們的教學的終極的目標，是培養(yǎng)一個個探索這個世界的人，不管是這個世界的人類行為的還是自然行為的方面。所以，我隱含了我所談的培養(yǎng)的對象實際上是類似于科學家、社會科學研究者、領導者的人，或者象科學家、社會科學研究者、領導者一樣思考問題的人。

回到我們的主題，在學科教學、學校教學的層面，學什么、教什么是個大問題。那么如何確定學什么、教什么呢？我們說要看一個內(nèi)容在整個知識框架或者說學科大圖景中的地位。那么，如何確定一個內(nèi)容在整個知識框架或者說學科大圖景中的地位呢？要依靠概念地圖。如何運用概念地圖來確定一個內(nèi)容在整個知識框架或者說學科大圖景中的地位呢？這個我們將來再展開討論。在那之前，我們一定要看見，隨著技術的進步，電子終端隨處可見，搜索引擎越來越準確，人們對于記憶性的知識本身的需求越來越少，對于成為一個知識淵博的人的需求越來越小，同時創(chuàng)造性地運用和創(chuàng)造知識的需求越來越高。而理解知識是創(chuàng)造性地運用和創(chuàng)造知識的基礎。我們學習和教學中的內(nèi)容應該越來越少地關注能夠通過簡單提問谷歌（Google） [4]或者 Siri[5]就能解決的問題，更多地關注提出以前沒有人提出過的問題，回答以前沒有人回答過的問題，用新的方式回答問題，給一個問題提供新的答案，關注如何促進人類文明的進步。

那么，提出問題、解決問題、創(chuàng)造知識、創(chuàng)造性地運用知識、理解知識，靠什么？靠對一個或者多個學科的學科大圖景的理解和把握。也就是，靠明白和體會到這個學科的研究者的典型思維方式和典型分析方法，靠了解這個學科的研究者大概研究什么典型對象、這些典型對象的什么典型問題，靠了解了典型思維方式、典型分析方法、典型對象、典型問題之后，體會到這個學科和世界的關系和其他學科的關系。于是，有一天當你面對相關的對象的相關的問題的時候，你知道把問題表述成相關學科的問題，用相關學科的思維方式和分析方法來嘗試解決這個問題，甚至通過解決這個問題發(fā)展新的思維方式和分析方法。

例如，對于物理問題，我們一般問：狀態(tài)如何描述、狀態(tài)是否會發(fā)生變化呢，如果變化其變化的原因是什么；當我們來思考變化原因的時候，我們經(jīng)常從事物的相互聯(lián)系的角度來思考，看看這個對象受哪些東西的作用或者說影響；在真的來寫下來狀態(tài)描述和狀態(tài)變化的原因的時候，我們經(jīng)常用數(shù)學結(jié)構(gòu)和數(shù)學方程；最后，一般來說，判斷我們的數(shù)學結(jié)構(gòu)和數(shù)學方程對錯的標準是，考察一個類似的新現(xiàn)象，用這些數(shù)學結(jié)構(gòu)和數(shù)學方程對這個現(xiàn)象算一算，看看算出來會發(fā)生什么，然后把這個“算出來的發(fā)生什么”和實際拿這個現(xiàn)象做一個實驗和測量得到的“實際發(fā)生什么”做一個比較。用更加專業(yè)的名詞來說，這幾個分別叫做“力學世界觀”、“相互作用”、“運動方程”、“數(shù)學建模”、“實驗和測量”、“可驗證性”。那學習物理學，除了學會具體的針對某些現(xiàn)象的方程和具體的方程的求解之外，還要體會好這幾個名詞——它們真正地代表了物理學是什么。這就是物理學的學科大圖景：一般來說，我們關心這個世界的自然的那部分謎題，而我們關注的問題大多數(shù)是我們?nèi)绾斡脭?shù)學模型和計算的方式來描述或者解開這個謎題，其中解開的標準不過就是我們算出來的和實驗測量出來的結(jié)果在誤差范圍內(nèi)相符，同時，大多數(shù)這樣的數(shù)學模型我們都是從個體和個體之間的相互作用的角度采用分析和綜合的視角來構(gòu)建的。

搞清楚了這個學科大圖景，當然還有其他在更具體的問題上的典型分析方法和典型思維方式，例如對稱性在電磁場的數(shù)學模型中的作用、對稱性對整個物理學理論的影響、關聯(lián)函數(shù)和相變在物理學和物理學之外的方法論上的意義，等等，下一步的問題，就是找出來合適的具體問題和具體知識，當做例子，來展示學科大圖景中的一項或者多項，促進學習者對學科大圖景的理解。這是一個雙向的過程：在學習每一個具體問題和具體知識的時候，盡量提煉出來能夠幫助學生體會的學科大圖景；針對每一個你已經(jīng)提煉出來的學科大圖景，找到最合適的具體問題和具體知識當例子。

圖：什么是一個學科的學科大圖景：就是這個學科的研究者的典型研究對象、典型研究問題、典型思維方式、典型分析方法、和世界以及其他學科的關系。

除了具體知識、具體問題和學科大圖景的聯(lián)系，另一個重要的聯(lián)系，是知識之間的聯(lián)系。一般來說，一個比較成熟的學科，總是會找到一些基本概念和基本假設，然后，把其他的概念看做是這些基本概念和基本假設，通過一般性的人類邏輯或者這個學科的典型思維方式和分析方法（當然，它們也滿足一般性的人類邏輯的約束，可以看作是會一般性的人類邏輯在這個學科里面的具體表現(xiàn)），來得到其他的知識。那么，在我們以學科大圖景為目標而學習的過程中，也要整理和運用好這個概念之間的聯(lián)系。通過這個概念之間的聯(lián)系，我們也可能更好地找出來比整個學科的概念集合少的多很多的關鍵概念關鍵知識來構(gòu)建整個學科的知識，來體驗整個學科的大圖景。這也就是概念地圖理解型學習中的“系聯(lián)性思考”的含義。在這里，需要強調(diào)，學科大圖景以及幫助學習者體會好學科大圖景的最少量的最關鍵的具有成長性——通過聯(lián)系來成長——的具體知識和具體問題的例子，才是學什么和教什么的答案。另外， 概念地圖理解型學習也是學什么和教什么的一部分。這樣學到的學科大圖景和具體知識、學習方法，也會同時讓學習者感受到這個學科的魅力，從而形成對這個學科的情感。這些才是應該教和學的東西。

這樣的學習，和很早的時代那種以淵博的知識為目標的學習是完全不一樣的。那個時代能夠有機會學習知識，能夠有知識可以學習，能夠?qū)碛锌谠E和記住的表可以查，就已經(jīng)是很了不起的少數(shù)人才能做的事情了。

再舉一個例子來說明新時代的學習內(nèi)容的變化?？紤]你的一次出行。你的目標是從你熟悉的區(qū)域 Z，你需要到達一個你不太熟悉的地點 O。如果沒有地圖，你需要請教熟悉這兩個地區(qū)，甚至中間可能需要經(jīng)過的所有的地區(qū)的專家來制訂一個出行路線。而且，這個出行路線在什么地方轉(zhuǎn)彎都需要記下來，在心里或者在一張紙上。而且，我們不能保證經(jīng)過咨詢專家得來的路線是路程最短的還是開車或者走路最方便的。這個沒有整體地圖，只靠行路的人局部探索和專家指導的出行模式——這樣的指導也基本上依賴于記憶型知識，就是古老的， GPS 定位技術普及之前的，最可靠的出行計劃。現(xiàn)在有了地圖和電子地圖，我們再也不需要能夠記住這些區(qū)域的純粹知識型的專家了，我們需要的是及時更新的路況信息和好的路徑搜索算法，一個處理地圖以及交通信息的“專家”。當然，實際上，我們發(fā)現(xiàn)，除了專門研究這樣的算法的人，一般人連這個算法都可以用手機上的計算核心以及所運行的程序來替代。也就是說，現(xiàn)在，你只需要一個地圖，一個定位系統(tǒng)，一個路徑搜索算法，然后你就出門吧?；旧衔覀兙蜎]有任何記憶的需求了。當然，現(xiàn)實的世界中，我們會遇到地圖沒更新、算法有 bug、算法可能比較慢等之類的問題，我們還不能完全不識路，少量的路標可能還是需要記憶的。

前兩天發(fā)生在我自己和我的孩子身上的在商場尋找?guī)氖虑?，可以給我們更深刻的學習方法方面的啟發(fā)。我們需要在一個完全不熟悉的商場中找到廁所。首先，我們看了一下標志牌，沒看明白指示。然后，我們問了問路，得知在某一個角落里面有，而且得到了如何“拐彎抹角”的具體路線。

但是，非常不好意思的是，路線對我來說比較復雜，沒記住。不過，兩件事情我記住了：這一層有廁所，而且在那個方向上。于是，我就和孩子一起出發(fā)去尋找?guī)＝?jīng)過好多個拐彎——后來發(fā)現(xiàn)多走了一些彎路——之后，就找到了廁所。在這個找?guī)氖虑槔锩妫啦⑶蚁嘈拍硞€范圍內(nèi)有廁所， 而且知道大概的方向，就足夠了，而不用記住具體明確的路線。找到廁所的當時，我就想起學習這件事情來：在學習的時候，明白并且相信某個東西——例如課程或者書——里面有值得你學習，你喜歡學習，或者能夠解決你的問題，滿足你的好奇心的東西，是最重要的。然后，學習的時候要做到有方向感——可以來自于自己的積累、直覺，也可以來自于老師或者同學的啟發(fā)。就是這個信念和方向感，而不是具體的定義和計算——當然，在真的要理解所學內(nèi)容的時候，深刻理解這些定義和計算是非常重要的[6]——就能基本上保證你學得懂學得到，盡管可能要走一些彎路。

上面的 GPS 的例子的啟發(fā)是，隨著時代的進步，我們對純粹記憶型知識的需求會越來越低，而這個尋找?guī)睦觿t告訴我們，信念和方向感對于學習和研究工作來說比具體的知識更加重要。當然，你會問這樣的信念和方向感從哪里來。如果有指導老師和學習小組，那么，這個信念和方向感可以來自于這樣的先行者。但是，既然我們強調(diào)自學，那么在基本上靠自己學習的時候，這樣的信念和方向感又從哪里來呢？來自于對自身的興趣和能力的了解，以及來自于對已經(jīng)學會的知識的全局性的大圖景的把握。那么，如何從所學的具體知識中把握好大圖景呢？我們下面就討論怎么學、怎么教的問題。

創(chuàng)造體驗式學習

現(xiàn)在，我們來把上面那個媽媽帶著孩子展示 1 + 1 的例子補充完。從中體會到底應該如何學習。我從小就不懂事盡說真話。有一天有一個媽媽抱著她大約兩歲的小孩，特別自豪地說我家孩子會算 1 + 1 了。然后，一群人就起哄，說演示一下唄。媽媽就問孩子“某某， 1 + 1 等于幾啊”。孩子就答“2”。然后，媽媽就抱著孩子自豪地轉(zhuǎn)了一個圈，準備走了。這時候，我不懂事地跳出來問，“某某，那你知道 1 是什么意思， 2 是什么意思， + 是什么意思， =是什么意思嗎？”然后，孩子和媽媽被我搞得灰頭土臉走了。我不是希望大家都像我這樣不懂事，盡管，我到今天仍然盡說大實話。我只是強調(diào)，如果要理解 1 + 1 = 2 的含義——把一個在某個單位下數(shù)一數(shù)得到數(shù)量是 1 的東西和另一個在“同一個單位”下的數(shù)一數(shù)得到數(shù)量是 1 的東西“合起來數(shù)一數(shù)”得到數(shù)量是 2，那么我們是需要一些基礎的——對數(shù)一數(shù)和數(shù)量的理解、對單位以及單位可變換和保證相同單位（例如一雙襪子和一雙襪子加起來是兩雙，但是一雙襪子和一只襪子就不好辦了）的理解，對“加法就是合起來數(shù)一數(shù)”的理解，對“等號表示數(shù)量相等，形式上一般不完全相同”這個含義的理解。在建立對這些東西的初步理解之前，盡管隨著進一步學習將來可以深化，不應該直接學習加法計算。這樣的在沒有搞清楚上面的東西的理解之前的加法計算的學習，基本上只能成為記憶，依靠記憶和重復來學習，稱為“機械式學習”。那么，是不是如果不考慮學習成本，其實，主要依靠記憶和重復的機械式學習其實也不錯呢，也可以成為主要的怎么學怎么教的方法之一呢？不能。因為從機械式學習中，我們不能學會學科大圖景。

再一次回到學什么、教什么。我們說了，學習的根本目的是為了提出問題解決問題，為了理解世界，為了讓世界更美好。固然，大部分所要解決的問題都是曾經(jīng)有人遇到過的問題，于是，你只需要有一個別人是怎么解決這個問題的數(shù)據(jù)庫就可以，從里面查出來前人是怎么解決的，然后照搬或者稍微改造一下就可以用來解決你面對的問題。但是，科學的進步、社會的發(fā)展的根本是提出和解決新問題。當你面對一個別人從來就沒有解決過的的問題的時候，更加重要的，就不再是答案的數(shù)據(jù)庫，而是前人在解決相關問題的過程中提煉出來的典型思維方式、典型分析方法。甚至，前人提出問題的時候的經(jīng)驗和感悟，也可能可以幫助你來提出新的問題。而這些，通過重復、記住、查表的方式，都是不能完成的。這就是為什么我們要否定機械式學習。

當然，否定機械式學習并不意味著，學習者就不需要和不能運用記憶這個工具了。首先，有一些技巧性比較高的東西，只有通過一定量的練習之后，才能習得。例如演奏音樂的練習，除了懂得道理，甚至還需要形成肌肉記憶。

其次，有一部分知識，記憶和理解可以相互促進。記住一些東西有助于更快地反應過來，從而更方便建立聯(lián)系，促進理解；同時，有些東西理解了之后，記起來就會效率更高。例如，在理解了一個字和這個字的組成部件之間的關系（比如說，可能一個部件表示含義，另一個部分表示讀音）之后，可以更好地記住和運用這個漢字。最后，甚至有的時候通過理解和聯(lián)系之后，自己總結(jié)出來一些口訣，來幫助更快速地解決問題，也不是不可以。例如，通過多次計算個位數(shù)的加法，你再也不用數(shù)手指頭來計算加法了而實際上腦子里面形成了一章加法表。例如，通過多次計算個位數(shù)的乘法，你不用每次把乘法——重復多次的加法——變成加法來計算了，而是在腦子里面形成一張乘法表來計算了。這些都是記憶這種學習方法可以發(fā)揮作用的地方。我們所反對的是，直接把對知識的記憶，對口訣的記憶當做學習的目標和手段，來教和學。讓學習者經(jīng)歷提出問題、解決問題、建立聯(lián)系來理解這個問題和解決方法的過程甚至痛苦和快樂，然后，最好通過自己的整理和總結(jié)來形成記憶，這樣的記憶型的學習可以有。

提起來這個機械式學習學習，我還想分享一個例子。受“海量閱讀”、“名著閱讀”思潮的影響，最近看到中考和高考語文題當中出現(xiàn)了“名著主要內(nèi)容”形式的問題。例如，問《海底兩萬里》中有哪一些主要角色、他們之間主要發(fā)生了什么，問《三國演義》空城計中主要人物是誰、發(fā)生了什么事情，問某某書的主要寫作特點是什么，等等。固然，這些題的本意是刺激孩子們?nèi)ラ喿x名著。但是，只要題目是這樣出的，那么，將來自然會出現(xiàn)“名著導讀”、“名著代讀”類型的學習參考書。這些書會把考試范圍內(nèi)的名著的主要內(nèi)容和寫作特點做一個精煉的總結(jié)，學生只需要把這些總結(jié)背下來，就可以在這樣的考試中獲得高分。于是，還是不可能推動學生真正自己去做名著閱讀。機械式學習是短期提高成績的捷徑，是長期真正學習到學科大圖景的障礙。那么，回到語文的學習，我們希望學生閱讀名著到底為了什么？是不是提高閱讀能力、寫作能力，尤其是書面語和有關稍微抽象一點的主題的閱讀和寫作？如果是，那么，是不是可以不通過考“名著主要內(nèi)容和寫作特點”的考題來檢驗是否達成了學習效果？從而，也使得在語文的教和學中，也不依賴“名著導讀”、“名著代讀”、“精煉總結(jié)”等等純粹重復和記憶式的學習？

回到我們的主題，那么，當我們否定了機械式學習，到底怎么學習呢？這里我們還是用出行計劃的例子來討論這個問題，不過，這里用它的抽象含義，類比含義，而不是真的出行。假設，你的學習目標就是你要到達的尚不熟悉的概念 O?，F(xiàn)在，你需要從你熟悉的領域 Z 出發(fā)，學習到 O。怎么辦？如果我們有一個地圖，一個關于這些概念之間的關系的地圖，我們就可以從 Z 開始，通過概念之間的聯(lián)系來習得 O。同樣地，如果我們面對一個證明題，要證明的目標是 O，起點是區(qū)域 Z 中的已知定理、公理和定義，那么我們需要構(gòu)建的也是從 Z 到 O 的道路。這個時候，有一個包含了 Z 和O 以及大部分中間概念的知識的地圖就會發(fā)揮非常大的作用，大大提高我們學習和思考的效率。正像實際的地圖在我們制訂出行計劃的時候的重要性，對于理解概念、運用知識和創(chuàng)造知識來說，概念地圖就是我們認知結(jié)構(gòu)中的地圖。所以，怎么教怎么學，還是依賴于這個地圖。這個時候，如果我們在已有的兩個概念之間新建立了一個的聯(lián)系，實際上就是相當于新建設了一條路。看看一條實際地圖上新的路對于整個交通的意義，就可以體會認知結(jié)構(gòu)中這樣一個新的聯(lián)系的價值了。這個時候，概念地圖還能夠提示你在哪里建，怎么建這樣一條新的道路。這個就是我們在上一小節(jié)結(jié)束的時候提到的：我們教和學的內(nèi)容是用最少量最核心的概念和研究的例子以及它們之間的聯(lián)系，來讓學習者體會好這個學科的學科大圖景，而所用的方法就是關注概念、研究工作、學科大圖景之間的聯(lián)系，讓學習者自己來構(gòu)建所學知識的概念地圖，來體會學科大圖景。并且這樣的聯(lián)系中，一定要關注內(nèi)在聯(lián)系，而不是牽強附會的聯(lián)系。這個關注內(nèi)在的聯(lián)系而不是牽強附會的聯(lián)系，我一會兒會分享一個例子，是批判性思維的一部分。因此，合起來，怎么學怎么教，就是靠“以學科大圖景和成長型思維目標的以批判性思維和系聯(lián)性思考為指導的以概念地圖為技術基礎的理解型學習”。

同時，這個概念地圖可以用來反映概念地圖制作者的認知結(jié)構(gòu)，因此，這個制作概念地圖的過程，在發(fā)現(xiàn)學習和理解中的問題，制訂有針對性的個性化的學習方案中，也有著重要的作用。因此，概念地圖也可以用于教學和學習的評價和診斷。由于概念地圖的這個反映制作者的思考和理解的功能，在教學中，運用概念地圖能夠做到一定程度上個性化的教學。奧蘇貝爾（David Ausubel） 在他的《教育心理學》 中說：

If I had to reduce all of educational psychology to just one principle, I would say this: The most important single factor influencing learning is what the learner already knows. Ascertain this and teach him accordingly。

如果非要我用一句話來概括教育心理學的原理，我會說：影響學習最重要的因素是學習者已經(jīng)了解的東西。了解和考慮了這些東西以后來教。

因此，怎么學怎么教的問題就是兩張地圖的事兒：第一張，學科的核心知識的概念地圖——這個學科的概念關系構(gòu)成的概念地圖是客觀的，但是實際上呈現(xiàn)出來的學科專家或者授課老師所做的概念地圖總是帶有制作者的主觀色彩的對這個客觀關系的一種逼近；第二張，學生在相關知識上的已經(jīng)有的概念地圖——這個反映學生在學習階段對這門學科的概念關系的把握。而且，后者需要在學習的過程中不斷地更新。

在構(gòu)建這張兩概念地圖的過程中，除了注意學科概念之間的聯(lián)系之外，還需要注意概念和學科大圖景之間的聯(lián)系，也就是盡量選擇那些能夠體現(xiàn)學科大圖景的概念、概念間聯(lián)系來當做所要學習和理解的內(nèi)容。這也就是我們提出[7]和提倡的學習方法：以學科大圖景和成長型思維為目標的以批判性思維和系聯(lián)性思考為指導的以概念地圖為技術的理解型學習。

注：本文經(jīng)授權(quán)選自吳金閃：《教的更少，學得更多——概念地圖用于理解型學習》（科學出版社，2021年7月）?！斗禈恪钒l(fā)表時由于篇幅所限等原因，略有刪改，本文題目為編者所加。有興趣的讀者可移步吳金閃教授個人微信公眾號了解其更多內(nèi)容。

注釋

[1] 很多人都說，湯超的導師Per Bak ，也是沙堆模型的原創(chuàng)者之一，是一個具有非凡創(chuàng)造性的人?？上?，聽不到Per Bak 關于這個問題的答案。如果你想了解這個具有非凡創(chuàng)造力的人更多，可以看看Per Bak 的書《大自然如何工作：有關自組織臨界性的科學》。

[2] SageMath 是一個數(shù)學軟件，可以做符號計算和數(shù)值計算。Sage: Open Source Mathematics Software， http://www.sagemath.org/ ， 2017 年 4 月 20 日訪問。

[3] Maple 是一個數(shù)學軟件，可以做符號計算。The Maple Software，http://www.maplesoft.com/， 2017年 4 月 20 日訪問。

[4] 谷歌（Google）是一個搜索引擎， http://www.google.com/。

[5] Siri 是 一 個 語 音 控 制 系 統(tǒng)， 可 以 通 過 自 動 檢 索 網(wǎng) 絡 和 資 料 回 答 用 戶 的 一 些 問 題。
https://www.apple.com/hk/en/ios/siri/。

[6] 關于具體定義和計算的理解的討論，見吳金閃《教的更少，學得更多——概念地圖用于理解型學習》 10.17 節(jié)，“秦磊、吳金閃：關于數(shù)學和科學理論與現(xiàn)實的關系以及學習方法的對話?！?/p>

[7] 不能說完全是我們提出的，其中各個部分獨立來看，“成長型思維”“概念地圖”“學科大圖景”“批判性思維”“系聯(lián)性思考”“理解型學習”，都是在我們之前就已經(jīng)被提出來的。不過，把這幾樣東西合起來并且發(fā)展出來一個教和學的體系，就我所知，應該是我們提出來的。