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100年后,物理學(xué)家終于找到宇宙學(xué)運(yùn)動(dòng)方程的解析解

返樸
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弗里德曼方程由蘇聯(lián)物理學(xué)家弗里德曼于1922年提出,至今依然是理解宇宙運(yùn)動(dòng)和演化的核心方程,描述我們所處在一個(gè)均勻且各向同性的膨脹宇宙。如今,物理學(xué)家終于找到方程的解析解,并根據(jù)新的理論,我們所處宇宙正如所觀察的那樣“平”,并不特殊。

撰文 | 董唯元

引子

當(dāng)我們?cè)谔栂道锇l(fā)現(xiàn)個(gè)陌生的天體,只要記錄一小段運(yùn)行軌道,就可以判斷出這個(gè)天體到底是系內(nèi)小行星還是系外過客。天文學(xué)家是如何做到窺一斑而知全豹的呢?其實(shí)就是靠我們中學(xué)時(shí)候?qū)W過的離心率e。

我們知道在引力作用下,天體的軌道是條圓錐曲線。如果e>1,說明軌道是雙曲線;如果e=1,軌道是拋物線。這兩種情況都說明軌道是開放的,這個(gè)天體是系外過客,在太陽旁邊溜達(dá)一次之后就不會(huì)再回來。而如果e<1,說明軌道是閉合的橢圓,天體會(huì)周期性地繞著太陽轉(zhuǎn)。

標(biāo)度因子

類似地,我們?cè)诿枋鲇钪嬲w演化的時(shí)候,也需要些指示性的參數(shù)。其中最基礎(chǔ)也最重要的就是標(biāo)度因子a,它代表隨宇宙同步膨脹/收縮的坐標(biāo)系中,坐標(biāo)距離與實(shí)際物理距離的比例關(guān)系。所謂宇宙在膨脹,就是指a在變大。

現(xiàn)在的宇宙膨脹速度大約為每10億年兩點(diǎn)間物理距離增加7%。如果定義今天的a=100光年,即共動(dòng)坐標(biāo)系中的單位坐標(biāo)距離1,對(duì)應(yīng)實(shí)際物理距離100光年,那么10億年后隨著宇宙膨脹,共動(dòng)坐標(biāo)系也被拉伸了,單位坐標(biāo)距離1就對(duì)應(yīng)實(shí)際物理距離107光年,也就是a=107光年。

出于對(duì)自我中心主義的“鄙夷”,以及天文觀測(cè)的事實(shí),我們相信宇宙各處的各個(gè)方向都在均勻同步膨脹,只是在不同時(shí)間階段的膨脹速度有所不同。于是a就與空間位置和方向都無關(guān),僅是時(shí)間的函數(shù)a(t)。如果有讀者聽過那個(gè)“處處均勻且球形對(duì)稱”的老梗,宇宙學(xué)中的標(biāo)度因子絕對(duì)算是典型代表之一。

宇宙學(xué)運(yùn)動(dòng)方程

翻開任何一本宇宙學(xué)的教科書,開篇就會(huì)提到兩個(gè)方程。

這就是弗里德曼第一方程和第二方程。1922年,前蘇聯(lián)物理學(xué)家弗里德曼(Alexander Friedmann,1888-1925)從廣義相對(duì)論方程推導(dǎo)出了這組方程。時(shí)至今日整整100年已經(jīng)過去,它仍然是研究宇宙演化規(guī)律的理論核心。

為了看起來更清爽,我們可以用普朗克單位制,約定c=8πG=1,于是方程組就變成了

面”,朝任何方向一直走出足夠遠(yuǎn)就會(huì)回到起點(diǎn)。k=-1則意味著空間像馬鞍面那樣具有負(fù)曲率,只不過馬鞍面是二維,而宇宙空間是三維。k=0就對(duì)應(yīng)著宇宙空間“平直”,目前的天文觀測(cè)數(shù)據(jù)顯示,我們身處的宇宙應(yīng)該非常接近“平直”的情況。當(dāng)僅探討我們這個(gè)宇宙時(shí),往往都直接取k=0再進(jìn)行推演。

Λ本來是廣義相對(duì)論方程中的“宇宙常數(shù)”,數(shù)學(xué)意義上可以是任意常數(shù),物理意義上代表著真空本身所具備的能量,其密度不會(huì)隨著膨脹而衰減。弗里德曼方程最初的形式中并不含此項(xiàng),因?yàn)楫?dāng)時(shí)物理學(xué)家壓根不會(huì)接受真空還能具有能量這回事。

可是,當(dāng)宇宙在加速膨脹被確認(rèn)之后,現(xiàn)代宇宙學(xué)模型就不得不拾起Λ項(xiàng)這塊補(bǔ)丁貼上,以此來代表使宇宙膨脹加速的真空能量。從弗里德曼第二方程就能清楚的看出,如果Λ≦0的

宇宙暗能量

其實(shí),量子場(chǎng)論已經(jīng)對(duì)真空能量的來源提出了好幾種理論,有些甚至都有實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證??上У氖?,無論哪種理論所給出的真空能,都遠(yuǎn)大于天文實(shí)際觀測(cè)數(shù)據(jù),最懸殊的相差了120個(gè)數(shù)量級(jí),最小的差距也在40個(gè)數(shù)量級(jí)以上。也就是說,宇宙中一定還存在某種壓制機(jī)制,能夠恰到好處地抵消那些實(shí)驗(yàn)已經(jīng)發(fā)現(xiàn)的真空能量。

至今仍沒有自洽的理論,能夠?qū)φ婵漳芰康默F(xiàn)狀做出解釋。在這種局面下,宇宙學(xué)家只好稱其為“暗能量”,并略顯簡(jiǎn)單粗暴地用一個(gè)常數(shù)項(xiàng)Λ來表示。根據(jù)觀測(cè)數(shù)據(jù),如今宇宙中輻

圖中橙色代表認(rèn)知空白部分,藍(lán)色代表存在理論解釋和實(shí)證的部分,兩者分量幾乎相當(dāng),所以我們未知的部分其實(shí)只有50%。

真正厘清了這些關(guān)系之后,我們反倒會(huì)感覺這“50%”背后所帶來的困惑,遠(yuǎn)遠(yuǎn)超過了原本對(duì)那個(gè)“70%”的解讀。我們目力所及的一切,無論閃爍的繁星還是黯然寥落的塵埃,甚至包括那些只能通過引力效應(yīng)向我們展示其存在的暗物質(zhì),所有這一切在我們所認(rèn)識(shí)到的能量形式中占比竟然近乎于零。

如果用百分比寫出其比例的話,它會(huì)是一個(gè)小數(shù)點(diǎn)后幾十位甚至上百位個(gè)0的微小數(shù)字。幸好有宇宙學(xué)和天文觀測(cè)數(shù)據(jù)來拯救我們的茫然,否則我們會(huì)毫不猶豫地相信,真正統(tǒng)御宇宙的就是真空本身!

這些種種跡象使一部分研究者開始懷疑廣義相對(duì)論在宇宙尺度上的有效性,也許弗里德曼方程根本不能被應(yīng)用在宇宙尺度上。然而這種懷疑并沒有粗看起來那么合理。要知道我們所面臨的是巨大的數(shù)量級(jí)上的挑戰(zhàn),即使如廣義相對(duì)論和牛頓力學(xué)相去之遠(yuǎn),也幾乎不可能找到在哪項(xiàng)理論預(yù)言上能夠出現(xiàn)百倍千倍的不同。

我們當(dāng)然相信未來必然有更完善的理論出現(xiàn)替代廣義相對(duì)論,但如果那個(gè)理論既能在光年尺度上給出與廣義相對(duì)論相同的結(jié)果,又在百億光年的宇宙尺度上與廣義相對(duì)論相差了億億億億億倍以上,那實(shí)在是令人難以想象的樣貌。所以現(xiàn)下匆匆地拋棄弗里德曼方程另起爐灶,未必會(huì)找到更好的出路。

求解方程

說來有些奇怪,弗里德曼方程誕生100年來,宇宙學(xué)家們已經(jīng)反復(fù)研究了它的各種特殊解,但是最一般性的解析解卻是直到2022年10月才剛剛被解出,論文**[1]**作者是加拿大圓周理論物理研究所的Latham Boyle和蘇格蘭愛丁堡大學(xué)希格斯理論物理中心的Neil Turok。

他們解方程的思路非常容易理解。第一步是先把方程寫成最一般性的樣子:


sn(z, m)這個(gè)二元函數(shù)是解析解的靈魂所在,它是12種雅可比橢圓函數(shù)中的一種,性質(zhì)有些像正弦函數(shù),是個(gè)在實(shí)軸和虛軸上都有周期性的雙重周期函數(shù)。所以a(τ)也就具有了雙重周期性,像是定義在輪胎表面的函數(shù)一樣。當(dāng)然,這個(gè)輪胎表面是復(fù)平面。

這種數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)不僅看起來非常有趣,而且為研究宇宙演化提供了非常新穎的思路和工具。復(fù)數(shù)時(shí)間中包含著極為豐富的內(nèi)容,通過一種名為“威克轉(zhuǎn)動(dòng)”(Wick rotation)的操作,循環(huán)的虛時(shí)間就變成了溫度;熵就變成了作用量,繼而成了量子態(tài)演化的相位……許多量子場(chǎng)論中的問題都可以與熱力學(xué)問題相互轉(zhuǎn)換。利用這套數(shù)學(xué)技巧,我們甚至可以只用幾步就輕松地推導(dǎo)出黑洞溫度和黑洞熵。(參見返樸先前的文章《溫度與神秘的虛時(shí)間 | 眾妙之門》)

復(fù)數(shù)時(shí)間相關(guān)的工具已經(jīng)在量子場(chǎng)論和黑洞熱力學(xué)中司空見慣,但是應(yīng)用在宇宙學(xué)方面還是開拓性的創(chuàng)舉。這扇隱藏在方程解析解中的側(cè)門被發(fā)現(xiàn)之后,研究者們立即覺察到了一大片低垂的果實(shí)等待著摘取。

論文中二位研究者稍微借助黑洞熱力學(xué)的工具后,很快就得出一個(gè)很有價(jià)值的成果:在所有可能的宇宙中,曲率為零的平直宇宙占據(jù)絕大多數(shù)。這也就是說,我們所處的宇宙之所以平直,并非出于巧合,而是像空氣分子必然均勻分散在房間中一樣,是個(gè)自然而然的演化結(jié)果。這一結(jié)論非常有力地駁斥了“人擇主義”色彩濃烈的“精細(xì)調(diào)節(jié)假說”。

另外,論文中還在結(jié)尾處順帶提及了真空能演化的相關(guān)機(jī)制。初步的分析顯示,一個(gè)初始真空能為正數(shù)的宇宙中,無論初值是多少,總會(huì)在演化過程中逐漸減小,這背后其實(shí)對(duì)應(yīng)著虛時(shí)間維度上演化過程的熵增方向。至于更完整詳細(xì)的分析論證,只能等待二位研究者后續(xù)的論文了。

參考文獻(xiàn)

[1] “Thermodynamic solution of the homogeneity, isotropy and flatness puzzles

(and a clue to the cosmological constant)”arXiv:2210.01142v2 [gr-qc]

出品:科普中國(guó)

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評(píng)論
科普義務(wù)工作者開始了
少傅級(jí)
sn(z, m)這個(gè)二元函數(shù)是解析解的靈魂所在,它是12種雅可比橢圓函數(shù)中的一種,性質(zhì)有些像正弦函數(shù),是個(gè)在實(shí)軸和虛軸上都有周期性的雙重周期函數(shù)。
2022-12-29
科普義務(wù)工作者開始了
少傅級(jí)
當(dāng)我們?cè)谔栂道锇l(fā)現(xiàn)個(gè)陌生的天體,只要記錄一小段運(yùn)行軌道,就可以判斷出這個(gè)天體到底是系內(nèi)小行星還是系外過客。
2022-12-29
科普義務(wù)工作者開始了
少傅級(jí)
出于對(duì)自我中心主義的“鄙夷”,以及天文觀測(cè)的事實(shí),我們相信宇宙各處的各個(gè)方向都在均勻同步膨脹,只是在不同時(shí)間階段的膨脹速度有所不同。
2022-12-29