100年后，物理學(xué)家終于找到宇宙學(xué)運(yùn)動(dòng)方程的解析解

弗里德曼方程由蘇聯(lián)物理學(xué)家弗里德曼于1922年提出，至今依然是理解宇宙運(yùn)動(dòng)和演化的核心方程，描述我們所處在一個(gè)均勻且各向同性的膨脹宇宙。如今，物理學(xué)家終于找到方程的解析解，并根據(jù)新的理論，我們所處宇宙正如所觀察的那樣“平”，并不特殊。

撰文 | 董唯元

引子

當(dāng)我們?cè)谔栂道锇l(fā)現(xiàn)個(gè)陌生的天體，只要記錄一小段運(yùn)行軌道，就可以判斷出這個(gè)天體到底是系內(nèi)小行星還是系外過客。天文學(xué)家是如何做到窺一斑而知全豹的呢？其實(shí)就是靠我們中學(xué)時(shí)候?qū)W過的離心率e。

我們知道在引力作用下，天體的軌道是條圓錐曲線。如果e＞1，說明軌道是雙曲線；如果e=1，軌道是拋物線。這兩種情況都說明軌道是開放的，這個(gè)天體是系外過客，在太陽旁邊溜達(dá)一次之后就不會(huì)再回來。而如果e＜1，說明軌道是閉合的橢圓，天體會(huì)周期性地繞著太陽轉(zhuǎn)。

標(biāo)度因子

類似地，我們?cè)诿枋鲇钪嬲w演化的時(shí)候，也需要些指示性的參數(shù)。其中最基礎(chǔ)也最重要的就是標(biāo)度因子a，它代表隨宇宙同步膨脹/收縮的坐標(biāo)系中，坐標(biāo)距離與實(shí)際物理距離的比例關(guān)系。所謂宇宙在膨脹，就是指a在變大。

現(xiàn)在的宇宙膨脹速度大約為每10億年兩點(diǎn)間物理距離增加7%。如果定義今天的a=100光年，即共動(dòng)坐標(biāo)系中的單位坐標(biāo)距離1，對(duì)應(yīng)實(shí)際物理距離100光年，那么10億年后隨著宇宙膨脹，共動(dòng)坐標(biāo)系也被拉伸了，單位坐標(biāo)距離1就對(duì)應(yīng)實(shí)際物理距離107光年，也就是a=107光年。

出于對(duì)自我中心主義的“鄙夷”，以及天文觀測(cè)的事實(shí)，我們相信宇宙各處的各個(gè)方向都在均勻同步膨脹，只是在不同時(shí)間階段的膨脹速度有所不同。于是a就與空間位置和方向都無關(guān)，僅是時(shí)間的函數(shù)a(t)。如果有讀者聽過那個(gè)“處處均勻且球形對(duì)稱”的老梗，宇宙學(xué)中的標(biāo)度因子絕對(duì)算是典型代表之一。

宇宙學(xué)運(yùn)動(dòng)方程

翻開任何一本宇宙學(xué)的教科書，開篇就會(huì)提到兩個(gè)方程。

這就是弗里德曼第一方程和第二方程。1922年，前蘇聯(lián)物理學(xué)家弗里德曼（Alexander Friedmann，1888-1925）從廣義相對(duì)論方程推導(dǎo)出了這組方程。時(shí)至今日整整100年已經(jīng)過去，它仍然是研究宇宙演化規(guī)律的理論核心。

為了看起來更清爽，我們可以用普朗克單位制，約定c=8πG=1，于是方程組就變成了

面”，朝任何方向一直走出足夠遠(yuǎn)就會(huì)回到起點(diǎn)。k=-1則意味著空間像馬鞍面那樣具有負(fù)曲率，只不過馬鞍面是二維，而宇宙空間是三維。k=0就對(duì)應(yīng)著宇宙空間“平直”，目前的天文觀測(cè)數(shù)據(jù)顯示，我們身處的宇宙應(yīng)該非常接近“平直”的情況。當(dāng)僅探討我們這個(gè)宇宙時(shí)，往往都直接取k=0再進(jìn)行推演。

Λ本來是廣義相對(duì)論方程中的“宇宙常數(shù)”，數(shù)學(xué)意義上可以是任意常數(shù)，物理意義上代表著真空本身所具備的能量，其密度不會(huì)隨著膨脹而衰減。弗里德曼方程最初的形式中并不含此項(xiàng)，因?yàn)楫?dāng)時(shí)物理學(xué)家壓根不會(huì)接受真空還能具有能量這回事。

可是，當(dāng)宇宙在加速膨脹被確認(rèn)之后，現(xiàn)代宇宙學(xué)模型就不得不拾起Λ項(xiàng)這塊補(bǔ)丁貼上，以此來代表使宇宙膨脹加速的真空能量。從弗里德曼第二方程就能清楚的看出，如果Λ≦0的

宇宙暗能量

其實(shí)，量子場(chǎng)論已經(jīng)對(duì)真空能量的來源提出了好幾種理論，有些甚至都有實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證?？上У氖?，無論哪種理論所給出的真空能，都遠(yuǎn)大于天文實(shí)際觀測(cè)數(shù)據(jù)，最懸殊的相差了120個(gè)數(shù)量級(jí)，最小的差距也在40個(gè)數(shù)量級(jí)以上。也就是說，宇宙中一定還存在某種壓制機(jī)制，能夠恰到好處地抵消那些實(shí)驗(yàn)已經(jīng)發(fā)現(xiàn)的真空能量。

至今仍沒有自洽的理論，能夠?qū)φ婵漳芰康默F(xiàn)狀做出解釋。在這種局面下，宇宙學(xué)家只好稱其為“暗能量”，并略顯簡(jiǎn)單粗暴地用一個(gè)常數(shù)項(xiàng)Λ來表示。根據(jù)觀測(cè)數(shù)據(jù)，如今宇宙中輻

圖中橙色代表認(rèn)知空白部分，藍(lán)色代表存在理論解釋和實(shí)證的部分，兩者分量幾乎相當(dāng)，所以我們未知的部分其實(shí)只有50%。

真正厘清了這些關(guān)系之后，我們反倒會(huì)感覺這“50%”背后所帶來的困惑，遠(yuǎn)遠(yuǎn)超過了原本對(duì)那個(gè)“70%”的解讀。我們目力所及的一切，無論閃爍的繁星還是黯然寥落的塵埃，甚至包括那些只能通過引力效應(yīng)向我們展示其存在的暗物質(zhì)，所有這一切在我們所認(rèn)識(shí)到的能量形式中占比竟然近乎于零。

如果用百分比寫出其比例的話，它會(huì)是一個(gè)小數(shù)點(diǎn)后幾十位甚至上百位個(gè)0的微小數(shù)字。幸好有宇宙學(xué)和天文觀測(cè)數(shù)據(jù)來拯救我們的茫然，否則我們會(huì)毫不猶豫地相信，真正統(tǒng)御宇宙的就是真空本身！

這些種種跡象使一部分研究者開始懷疑廣義相對(duì)論在宇宙尺度上的有效性，也許弗里德曼方程根本不能被應(yīng)用在宇宙尺度上。然而這種懷疑并沒有粗看起來那么合理。要知道我們所面臨的是巨大的數(shù)量級(jí)上的挑戰(zhàn)，即使如廣義相對(duì)論和牛頓力學(xué)相去之遠(yuǎn)，也幾乎不可能找到在哪項(xiàng)理論預(yù)言上能夠出現(xiàn)百倍千倍的不同。

我們當(dāng)然相信未來必然有更完善的理論出現(xiàn)替代廣義相對(duì)論，但如果那個(gè)理論既能在光年尺度上給出與廣義相對(duì)論相同的結(jié)果，又在百億光年的宇宙尺度上與廣義相對(duì)論相差了億億億億億倍以上，那實(shí)在是令人難以想象的樣貌。所以現(xiàn)下匆匆地拋棄弗里德曼方程另起爐灶，未必會(huì)找到更好的出路。

求解方程

說來有些奇怪，弗里德曼方程誕生100年來，宇宙學(xué)家們已經(jīng)反復(fù)研究了它的各種特殊解，但是最一般性的解析解卻是直到2022年10月才剛剛被解出，論文**[1]**作者是加拿大圓周理論物理研究所的Latham Boyle和蘇格蘭愛丁堡大學(xué)希格斯理論物理中心的Neil Turok。

他們解方程的思路非常容易理解。第一步是先把方程寫成最一般性的樣子：

sn(z, m)這個(gè)二元函數(shù)是解析解的靈魂所在，它是12種雅可比橢圓函數(shù)中的一種，性質(zhì)有些像正弦函數(shù)，是個(gè)在實(shí)軸和虛軸上都有周期性的雙重周期函數(shù)。所以a(τ)也就具有了雙重周期性，像是定義在輪胎表面的函數(shù)一樣。當(dāng)然，這個(gè)輪胎表面是復(fù)平面。

這種數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)不僅看起來非常有趣，而且為研究宇宙演化提供了非常新穎的思路和工具。復(fù)數(shù)時(shí)間中包含著極為豐富的內(nèi)容，通過一種名為“威克轉(zhuǎn)動(dòng)”（Wick rotation）的操作，循環(huán)的虛時(shí)間就變成了溫度；熵就變成了作用量，繼而成了量子態(tài)演化的相位……許多量子場(chǎng)論中的問題都可以與熱力學(xué)問題相互轉(zhuǎn)換。利用這套數(shù)學(xué)技巧，我們甚至可以只用幾步就輕松地推導(dǎo)出黑洞溫度和黑洞熵。（參見返樸先前的文章《溫度與神秘的虛時(shí)間 | 眾妙之門》）

復(fù)數(shù)時(shí)間相關(guān)的工具已經(jīng)在量子場(chǎng)論和黑洞熱力學(xué)中司空見慣，但是應(yīng)用在宇宙學(xué)方面還是開拓性的創(chuàng)舉。這扇隱藏在方程解析解中的側(cè)門被發(fā)現(xiàn)之后，研究者們立即覺察到了一大片低垂的果實(shí)等待著摘取。

論文中二位研究者稍微借助黑洞熱力學(xué)的工具后，很快就得出一個(gè)很有價(jià)值的成果：在所有可能的宇宙中，曲率為零的平直宇宙占據(jù)絕大多數(shù)。這也就是說，我們所處的宇宙之所以平直，并非出于巧合，而是像空氣分子必然均勻分散在房間中一樣，是個(gè)自然而然的演化結(jié)果。這一結(jié)論非常有力地駁斥了“人擇主義”色彩濃烈的“精細(xì)調(diào)節(jié)假說”。

另外，論文中還在結(jié)尾處順帶提及了真空能演化的相關(guān)機(jī)制。初步的分析顯示，一個(gè)初始真空能為正數(shù)的宇宙中，無論初值是多少，總會(huì)在演化過程中逐漸減小，這背后其實(shí)對(duì)應(yīng)著虛時(shí)間維度上演化過程的熵增方向。至于更完整詳細(xì)的分析論證，只能等待二位研究者后續(xù)的論文了。

參考文獻(xiàn)

[1] “Thermodynamic solution of the homogeneity, isotropy and flatness puzzles

(and a clue to the cosmological constant)”arXiv:2210.01142v2 [gr-qc]

出品：科普中國(guó)

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