高射炮也能打蚊子！數(shù)學(xué)大神克萊因：那個巔峰之上肯俯視的人

克萊因是數(shù)學(xué)物理學(xué)家，做數(shù)學(xué)似乎不分專業(yè)，在幾何、拓?fù)?、?fù)分析和群論方面都是高手。他1872年的愛爾蘭恩綱領(lǐng)乃是對時(shí)代數(shù)學(xué)之集大成，是歷史上不多的大手筆，深刻地影響了此后數(shù)學(xué)的演化，被譽(yù)為是一項(xiàng)無法評價(jià)其創(chuàng)新性的成就。克萊因是學(xué)物理的出身，他對物理的理解和表達(dá)能做到系統(tǒng)完備，可見何謂數(shù)學(xué)乃學(xué)物理、做物理之必備。我衷心希望，我們的中華少年在解一元二次方程的時(shí)候，手邊的參考書是拉格朗日的《關(guān)于代數(shù)方程解的思考》和克萊因的《二十面體與五次方程解教程》。

撰文 | 曹則賢 (中國科學(xué)院物理研究所研究員)

欣賞數(shù)學(xué)之美需要物理的眼光

法國百科全書派的天才哲學(xué)家狄德羅老師 (Denis Diderot，1713-1784) 曾這樣描寫數(shù)學(xué)家：“ (他們) 就像那些站在高聳入云的峰頂上出神凝望的人，下面平地上的物體已從視野中消失；他們觀察到的景象只是他們自己的思想，他們意識到的對象只是他們所攀登的高度。在那個高度上，恐怕一般人都無法適應(yīng)，也無法呼吸 [那么稀薄的空氣] ?！?這段話的法文原文我沒找到，是基于如下這段英文翻譯的: “ (they) resemble those who gaze out from the tops of high mountains whose summits are lost in the clouds. Objects on the plain below have disappeared from view; they are left with only the spectacle of their own thoughts and the consciousness of the height to which they have risen and where perhaps it is not possible for everyone to follow and breathe [the thin air].” 好吧，他們看不到我們，我們估計(jì)也看不到他們。就讓我們從他們留下的偉大成就以及相應(yīng)的文字構(gòu)想他們的風(fēng)采之萬一吧！

然而，我想說然而，大數(shù)學(xué)家也不都是這么傲慢得不食人間煙火的。他們中也有好人，不，是有有悲憫心的人。有一個人，他在巔峰之上也不曾忘卻地面上還有稀里糊涂的蕓蕓眾生，還肯抽時(shí)間為我們撰寫Elementarmathematik vom h?heren Standpunkte aus (高觀點(diǎn)下的基礎(chǔ)數(shù)學(xué))，他就是數(shù)理大神克萊因 (圖1)。

圖1. Felix Klein

克萊因 (Felix Klein，1849-1925. Felix，拉丁語詞，幸福的；Klein，德語詞，小的) 是數(shù)學(xué)家，也是個好為人師的數(shù)學(xué)教育家?？巳R因于1849年出生于德國的杜塞爾多夫，1865-1866年間在波恩大學(xué)學(xué)數(shù)學(xué)和物理，那時(shí)他是想當(dāng)物理學(xué)家來著，他的導(dǎo)師普呂克 (Julius Plücker，1801-1868) 就是波恩大學(xué)的數(shù)學(xué)和實(shí)驗(yàn)物理教授 (不熟？普呂克矩陣和陰極射線了解一下)。1866年，年紀(jì)不過17歲的克萊因成了普呂克的助手 (德國大學(xué)名教授的助手是什么意思，請參考泡利、海森堡、約當(dāng)都是玻恩的助手和勞厄是普朗克的助手加以理解。這些人可都是博士畢業(yè)以后才當(dāng)上助手的) ，這就算是參加工作了，然后于1868年獲得博士學(xué)位。嗯，對，你沒看錯，人家是在19歲上大學(xué)三年級時(shí)獲得博士學(xué)位的 (后來的泡利也是大學(xué)念了三年獲得物理博士學(xué)位，不過他已經(jīng)虛歲22了)！克萊因在21歲上成為哥廷恩大學(xué)數(shù)學(xué)系的講師，1872年23歲時(shí)被Erlangen大學(xué)聘為教授。

說到Erlangen 大學(xué)，有必要多啰嗦幾句。Erlangen 大學(xué)聘請23歲的克萊因?yàn)槠浣淌冢@非常有眼光，克萊因的入職演說后來演變成了“愛爾蘭恩綱領(lǐng)”回饋了這所大學(xué)。愛爾蘭恩綱領(lǐng)是數(shù)學(xué)史上的獨(dú)特風(fēng)景，后來可與其相提并論的有希爾伯特1900年的巴黎演說以及朗蘭茲綱領(lǐng)。愛爾蘭恩綱領(lǐng)，德語寫法為Erlanger Programm, 英文寫法為Erlangen program，有漢譯愛爾朗根綱領(lǐng)。我再說一遍，這里，以及哥廷恩 (G?ttingen) 那里，從來沒有‘根’這個音 (讀書先識字。我懷疑連字都不肯認(rèn)真地認(rèn)的人會認(rèn)真地理解數(shù)學(xué)公式里那些不可見的內(nèi)容。在國人中有少年能熟讀法文、德文、俄文數(shù)學(xué)著作之前，不要指望出現(xiàn)大數(shù)學(xué)家。不信，問問我們的鄰居日本人！)。這所大學(xué)自1888年起還聘用了一位Max Noether (1844-1921) 教授，Max Noether 教授的女兒艾米 (Emmy Noether, 1888-1935) 在21歲上決定開始學(xué)數(shù)學(xué)，后來成了近世代數(shù)之父！艾米還成了克萊因晚年的合作者，這是后話。一所好的研究機(jī)構(gòu)與其聘用的學(xué)者是互相成就的。好研究機(jī)構(gòu)的特征是評價(jià)學(xué)者時(shí)眼不瞎、心不歪！

以一個毛頭小伙子的身份開始做數(shù)學(xué)教授，克萊因其后的人生一路開掛，充滿傳奇。1875年，克萊因結(jié)婚，妻子是哲學(xué)家黑格爾 (Georg Hegel，1770-1831. 不熟？辯證法了解一下) 的孫女Anne Hegel。同年，克萊因挪到慕尼黑工業(yè)學(xué)校(Munich’s Technische Hochschule) 任教，在那里上他的課的學(xué)生中后來成為大學(xué)問創(chuàng)造者的有Adolf Hurwitz(可除代數(shù))，Carl Runge (計(jì)算方法)，Max Planck (量子力學(xué)) ，意大利人Luigi Bianchi和 Gregorio Ricci-Curbastro (見于微分幾何中的比安奇恒等式和里奇張量。這是廣義相對論的關(guān)鍵概念)。1880-1886年間克萊因任教于萊比錫大學(xué)，其同事包括無產(chǎn)階級的偉大導(dǎo)師恩格斯(Friedrich Engels，1820-1895。不熟? 共產(chǎn)黨宣言了解一下)。從1886年起一直到1913年退休，克萊因都在哥廷恩大學(xué)數(shù)學(xué)系工作，重新把哥廷恩打造成了世界數(shù)學(xué)中心。在哥廷恩期間，他教的都是橫跨數(shù)學(xué)和物理的課，比如力學(xué)和勢理論 (potential theory，學(xué)過力學(xué)和電磁學(xué)的回顧一下。想不起來？補(bǔ)課吧)?？巳R因在哥廷恩期間干的一件漂亮事兒，是他1895年把希爾伯特 (David Hilbert, 1862-1943) 從國王堡大學(xué)挖了過去，使得哥廷恩大學(xué)到希爾伯特去世的1943年都一直是世界數(shù)學(xué)中心。

說到國王堡，K?nigsberg, 我又得啰嗦一句。K?nigsberg, 漢譯柯尼斯堡，是很糟糕的翻譯。K?nig，柯尼希，國王；Berg, 山。那個s只具有語法功能，相當(dāng)于漢語的助詞“的”。漢譯柯尼斯堡算怎么回事兒？國王堡，如今屬于俄羅斯，叫加里寧格勒，是一個學(xué)數(shù)學(xué)、物理的人應(yīng)該知道的一個小地方 (面積約223平方公里，恰好是北京市海淀區(qū)的一半) 。我們熟悉的康德、希爾伯特、閔可夫斯基、基爾霍夫、索末菲、哥德巴赫、雅可比、克萊布什等數(shù)學(xué)物理大神，家都是國王堡的或者是那兒畢業(yè)的?？档略嵩谀抢?，墓碑上刻著那段有“頭頂?shù)男强蘸蛢?nèi)心的道德律令”的名句，至今國王堡，應(yīng)該叫加里寧格勒，的青年結(jié)婚時(shí)還要到康德墓上獻(xiàn)花。

克萊因是數(shù)學(xué)物理學(xué)家，做數(shù)學(xué)似乎不分專業(yè)，在幾何、拓?fù)?、?fù)分析和群論方面都是高手 (圖2)?？巳R因是從李 (Sophus Lie, 1842-1899) 和約當(dāng) (Camille Jordan, 1838-1922) 那兒學(xué)到的群論。作為一個學(xué)物理的人，他肯定一眼就能看出群論的物理意義，而群論也成了他后期工作的主題?？巳R因用對稱群來劃分幾何，他1872年的愛爾蘭恩綱領(lǐng)乃是對時(shí)代數(shù)學(xué)之集大成，是歷史上不多的大手筆。愛爾蘭恩綱領(lǐng)把幾何學(xué)綜合到一起成為關(guān)于空間之在變換群下不變性的研究，即幾何的根本性質(zhì)是由保其度規(guī)的變換群所表示的。一個人若不是把學(xué)問做到了泰山頂上的高度，是不可能有這種眾山都小的眼界的。愛爾蘭恩綱領(lǐng)，其原文為Vergleichende Betrachtungen ber neuere geometriesche Forschungen, Math. Ann.43, 63-100 (1893) ，可譯為“關(guān)于新幾何之研究的比較考察”，讀者有空的時(shí)候可以掃一眼。愛爾蘭恩綱領(lǐng)深刻地影響了此后數(shù)學(xué)的演化，被譽(yù)為是一項(xiàng)無法評價(jià)其創(chuàng)新性的成就 (It is difficult to appreciate the novelty。啥事兒也得論層次、分量。新未必有什么價(jià)值)。就入職報(bào)告成為劃時(shí)代科學(xué)文獻(xiàn)的角度來說，先前黎曼(Bernhardt Riemann, 1826-1866) 當(dāng)講師時(shí)的入職演說應(yīng)該說遠(yuǎn)高于克萊因的，而薛定諤 (Erwin Schr?dinger，1887-1961) 當(dāng)教授的入職報(bào)告就差多了。一個國家，如果有教授入職報(bào)告制度，那估計(jì)是拿做學(xué)問當(dāng)真的。

圖2. 克萊因瓶， 一種閉合單側(cè)曲面，可看作是三維的莫比烏斯帶。右側(cè)是莫比烏斯帶。

對稱性，群論，作為綱領(lǐng)性的存在，對物理學(xué)的意義更重要?？巳R因1918年在哥廷恩大學(xué)學(xué)報(bào)上有論文 über die Integralform der Erhaltungss?tze und die Theorie der r?umlich-geschlosssenen Welt (論守恒律的積分形式和閉合世界理論) 和 über die Differentialgesetze für die Erhaltung von Impuls und Energie in der Einsteinschen Gravitationstheorie (愛因斯坦引力理論中動量和能量守恒的微分形式)，這兩篇同諾特的不變變分問題一文一起，是守恒律同對稱性聯(lián)系的奠基性論文，不可不知。特別值得強(qiáng)調(diào)的是，克萊因1910年的über die geometrischen Grundlagen der Lorentzgruppe (論洛倫茲群的幾何基礎(chǔ)) 一文，是學(xué)相對論者必學(xué)的一篇論文?？陀^地說，愛因斯坦可能不清楚這篇論文的存在，否則他不會不知道時(shí)空平移對相對論的意義。愛因斯坦的著作從未討論時(shí)空平移，但是沒有時(shí)空平移對稱性，相對論是不完整的 (見拙作《相對論~少年版》)。

筆者多年前在研究球面上的鋪排問題 (tessellation on spherical surface) 時(shí)就注意到了克萊因1884年撰寫的Vorlesungen über das Ikosaeder und die Aufl?sung der Gleichungen vom 5ten Grade (二十面體與五次方程解教程) 一書?？巳R因研究高于四階的代數(shù)方程，嘗試用超越方法去解五次方程，就注意到了二十面體具有五次轉(zhuǎn)動對稱性。他用二十面體群解決了五次方程的非根式解問題，相關(guān)研究讓他發(fā)表了一系列關(guān)于橢圓模函數(shù)的論文?？巳R因在這本書中講述了自同構(gòu)函數(shù)理論，以及如何將代數(shù)同幾何聯(lián)系起來。我把這本書的章節(jié)安排照錄下來，供讀者朋友找找感覺，看看人家看問題的多層次與多角度?！抖骟w與五次方程解教程》一書章節(jié)安排如下：

第一部分

第一章 規(guī)則多面體與群論

第二章 x+iy簡介

第三章 基于函數(shù)論對基本問題的討論

第四章 基本問題的代數(shù)特征

第五章 一般性定理和對主題的探討

第二部分

第一章 五次方程發(fā)展史

第二章 幾何內(nèi)容簡介

第三章 五次方程的主方程

第四章 不變形式以及六次雅可比方程

第五章 一般五次方程

好像跟我能想象到的正二十面體和五次方程的可能內(nèi)容出入很大哈?？巳R因關(guān)于自同構(gòu)函數(shù)和橢圓模函數(shù)的研究成果見于他同F(xiàn)ricke 一起撰寫的《橢圓模函數(shù)理論教程》和《自同構(gòu)函數(shù)理論教程》各兩卷，前后耗時(shí)20年。

克萊因是學(xué)物理的出身，他對物理的理解和表達(dá)能做到系統(tǒng)完備，這是我們普通人做不到的 (讀者請隨便挑個小概念，看看能不能系統(tǒng)地表述一番)?？巳R因和他的學(xué)生索末菲(Arnold Sommerfeld, 1868-1951) 曾撰寫過四卷本的Theorie des Kreisels (陀螺理論) ，這簡直是對人類智商的挑戰(zhàn)。誰要是號稱自己學(xué)會了經(jīng)典力學(xué)里的剛體轉(zhuǎn)動這個知識點(diǎn)，不妨讀讀這四本書找找感覺。當(dāng)然了，這還是個具有重大應(yīng)用價(jià)值的學(xué)問。哪國要是想造飛機(jī)和造衛(wèi)星，就能認(rèn)識到這本書的重要性。陀螺運(yùn)動的描述，太難了(圖3)。筆者當(dāng)年學(xué)經(jīng)典力學(xué)和數(shù)學(xué)時(shí)總學(xué)不懂，現(xiàn)在想來可能的一個原因是課本里的學(xué)問只是摘取了只鱗片爪，沒有深度也沒有全貌也沒有關(guān)聯(lián)。

圖3. 陀螺與陀螺儀

克萊因想系統(tǒng)表述物理學(xué)的高漲熱情，還體現(xiàn)在他于1894年發(fā)起了數(shù)學(xué)科學(xué)百科全書編纂工程，這套數(shù)學(xué)科學(xué)百科后來成了數(shù)理著作——尤其是從綜述的角度來看——的典范。這套叢書的第五卷，我們學(xué)物理的一般都記得，是泡利撰寫的《相對論》！泡利的《相對論》，是廣義相對論出現(xiàn)后的第一本綜述，出版那年，泡利21歲。

克萊因從23歲起做數(shù)學(xué)教授，帶出來一大堆數(shù)學(xué)家來不提，他也殷切希望我們一般智商的人也能多少學(xué)點(diǎn)兒一般層次的數(shù)學(xué)。從1908年起，他為我們普通人編著了三卷本的Elementarmathematik vom h?heren Standpunkte aus，漢譯本為《高觀點(diǎn)下的初等數(shù)學(xué)》。筆者多年前見到這套書時(shí) (圖4) ，確實(shí)有些感動~數(shù)學(xué)家里竟然也有不拿鬼畫符和循環(huán)定義嚇唬人的。我覺得這套書還是譯為《高觀點(diǎn)下的基礎(chǔ)數(shù)學(xué)》合適些，“初等”這個詞用得有點(diǎn)猛。這套書共三卷：第一卷：算術(shù)、代數(shù)與分析；第二卷：幾何；第三卷：精確與近似數(shù)學(xué)。克萊因這個水平的數(shù)學(xué)家，在他那個高觀點(diǎn)上隨便漏一點(diǎn)的知識也不會太初等。舉例來說，第二卷第二章的題目為“Das Grassmannsche Determinantenprinzip für die Ebene”, Grassmann的Determinantprinzip (determinant principle)，估計(jì)一般大學(xué)的數(shù)學(xué)老師里知道這個概念的也不多, 何況把determinant漢譯為“行列式”本身就不著調(diào)。咱們要看得起自己沒問題，也得看得起人家的學(xué)問，對吧？看得起真正的學(xué)問才是看得起學(xué)習(xí)中的我們自己。

圖4. 高觀點(diǎn)下的基礎(chǔ)數(shù)學(xué)

克萊因、阿諾德這些人用高級數(shù)學(xué)解決了一些我們也聽說過的低層次問題，為我們演示了高射炮打蚊子的有效性，也藉此告訴我們慣于用高射炮打蚊子的人為什么還會有升級到用導(dǎo)彈打蚊子玩法的渴望。希望未來的中華少年，有人能早一點(diǎn)在頭腦中勾勒出自己用導(dǎo)彈打蚊子的奢侈，會心一笑然后趕緊把心思轉(zhuǎn)回他的數(shù)學(xué)題。我希望，在他解一元二次方程的時(shí)候，手邊的參考書是拉格朗日的《關(guān)于代數(shù)方程解的思考》和克萊因的《二十面體與五次方程解教程》。

克萊因著作目錄

1882: Ueber Riemann's Theorie der Algebraischen Functionen und ihre Integrale, McGraw-Hill.

1884: Vorlesungen über das Ikosaeder und die Aufl?sung der Gleichungen vom 5ten Grade, Teubner.

1894: über die hypergeometrische Funktion, Springer.

1894: über lineare Differentialgleichungen der 2. Ordnung, VS Verlag.

1897: (with Arnold Sommerfeld) Theorie des Kreisels (later volumes: 1898, 1903, 1910), Birkh?user.

1890 and 1892: (with Robert Fricke) Vorlesungen über die Theorie der elliptischen Modulfunktionen (2 B?nde), Bull.Amer.Math.Soc.

1897, 1912：(with Robert Fricke) Vorlesungen über die Theorie der automorphen Functionen, (2 B?nde), Teubner.

1895: Vortr?ge über ausgew?hlte Fragen der Elementargeometrie, Bull.Amer.Math.Soc.

1897: (with Arnold Sommerfeld) Theorie des Kreisels (later volumes: 1898, 1903,

1910), Teubner.

1908: Elementarmathematik vom h?heren Standpunkte aus，(3 B?nde), Springer.

1926& 1927: Vorlesungen über die Entwicklung der Mathematik im 19. Jahrhundert (2 B?nde), Springer.

1928: Vorlesungen über nichteuklidische Geometrie, Springer

1933: Vorlesungen über die hypergeometrische Funktion, Grundlehren der mathematischen Wissenschaften, Springer.

參考文獻(xiàn)

1. I. M.Yaglom, Felix Klein and Sophus Lie, Birkh?user (1988).

2. MacTutor history of mathematics archive, Felix Klein 條目。