[科普中國]-蘭徹斯特方程

蘭徹斯特方程是描述交戰(zhàn)過程中雙方兵力變化關(guān)系的微分方程組。 因系F.W.蘭徹斯特所創(chuàng)，故有其名。1914年，英國工程師蘭徹斯特在英國《工程》雜志上發(fā)表的一系列論文中，首次從古代使用冷兵器進行戰(zhàn)斗和近代運用槍炮進行戰(zhàn)斗的不同特點出發(fā)，在一些簡化假設(shè)的前提下，建立了相應(yīng)的微分方程組，深刻地揭示了交戰(zhàn)過程中雙方戰(zhàn)斗單位數(shù)（亦稱兵力）變化的數(shù)量關(guān)系。

第二次世界大戰(zhàn)后，各國軍事運籌學工作者根據(jù)實際作戰(zhàn)的情況，從不同角度對蘭徹斯特方程進行了研究與擴展，使蘭徹斯特型方程成為軍事運籌學的重要基本理論之一。有些學者也將蘭徹斯特型方程稱為蘭徹斯特戰(zhàn)斗理論或戰(zhàn)斗動態(tài)理論。蘭徹斯特型方程與計算機作戰(zhàn)模擬結(jié)合以后所構(gòu)成的各種形式、各種規(guī)模的作戰(zhàn)模型，在軍事決策的各有關(guān)領(lǐng)域中得到了廣泛的應(yīng)用。

定義蘭徹斯特方程是描述交戰(zhàn)過程中雙方兵力變化關(guān)系的微分方程組。

發(fā)展史因系F.W.蘭徹斯特所創(chuàng)，故有其名。1914年，英國工程師蘭徹斯特在英國《工程》雜志上發(fā)表的一系列論文中，首次從古代使用冷兵器進行戰(zhàn)斗和近代運用槍炮進行戰(zhàn)斗的不同特點出發(fā)，在一些簡化假設(shè)的前提下，建立了相應(yīng)的微分方程組，深刻地揭示了交戰(zhàn)過程中雙方戰(zhàn)斗單位數(shù)（亦稱兵力）變化的數(shù)量關(guān)系。

第二次世界大戰(zhàn)后，各國軍事運籌學工作者根據(jù)實際作戰(zhàn)的情況，從不同角度對蘭徹斯特方程進行了研究與擴展，使蘭徹斯特型方程成為軍事運籌學的重要基本理論之一。有些學者也將蘭徹斯特型方程稱為蘭徹斯特戰(zhàn)斗理論或戰(zhàn)斗動態(tài)理論。蘭徹斯特型方程與計算機作戰(zhàn)模擬結(jié)合以后所構(gòu)成的各種形式、各種規(guī)模的作戰(zhàn)模型，在軍事決策的各有關(guān)領(lǐng)域中得到了廣泛的應(yīng)用。1

主要形式平方律設(shè)在近代戰(zhàn)斗條件下，紅、藍兩軍交戰(zhàn)，雙方各自裝備同類武器，相互通視，并在武器射程范圍內(nèi)進行直接瞄準射擊；雙方每一戰(zhàn)斗單位射擊對方每一戰(zhàn)斗單位的機會大致相同。將雙方在戰(zhàn)斗中尚存的戰(zhàn)斗單位數(shù)作為連續(xù)的狀態(tài)變量，以m(t)、n(t)表示在戰(zhàn)斗開始后t時刻藍方、紅方在戰(zhàn)斗中尚存的作戰(zhàn)單位數(shù)，可用下列微分方程組來描述戰(zhàn)斗過程中雙方兵力隨時間的損耗關(guān)系：2

式中α、β分別為藍方、紅方在單位時間內(nèi)每一戰(zhàn)斗單位毀傷對方戰(zhàn)斗單位的數(shù)目， 簡稱為藍方、 紅方的毀傷率系數(shù)。在雙方使用步兵武器進行直瞄射擊的情況下，毀傷率系數(shù)等于武器的射速乘以單發(fā)射彈命中目標的概率與命中目標的條件下毀傷目標概率的乘積。假設(shè)交戰(zhàn)開始時刻藍方、紅方的初始戰(zhàn)斗單位數(shù)為m(0)=M,n(0)=N，從上述微分方程組可知，在交戰(zhàn)過程中雙方戰(zhàn)斗單位數(shù)符合下列狀態(tài)方程：

當交戰(zhàn)雙方的初始戰(zhàn)斗單位數(shù)與毀傷率系數(shù)之間滿足時，m(t)與n(t)同時趨于零，戰(zhàn)斗不分勝負。當時，藍方將首先被消滅。蘭徹斯特將上述關(guān)系概括為“在直接瞄準射擊條件下，交戰(zhàn)一方的有效戰(zhàn)斗力，正比于其戰(zhàn)斗單位數(shù)的平方與每一戰(zhàn)斗單位平均戰(zhàn)斗力(平均毀傷率系數(shù))的乘積”，并稱之為“平方律”。

按照這一定律，如果藍方武器系統(tǒng)的單個戰(zhàn)斗單位的平均效率為紅方的4倍,則紅方在數(shù)量上必須集中2倍于藍方的兵力才可抵消藍方武器在質(zhì)量上的優(yōu)勢。

蘭徹斯特采用下述例子說明平方律符合集中優(yōu)勢兵力的作戰(zhàn)原則：“如果藍方1000人與紅 方1000人交戰(zhàn)，雙方單個戰(zhàn)斗單位的平均戰(zhàn)斗力相同，紅方被藍方分割成各500人的兩半。假定藍方以1000人先攻擊紅方的500人，則藍方將以損失134人的代價全殲紅方的一半，接著藍方以剩下的866人再全殲紅方的另一半，藍方在這兩次戰(zhàn)斗中總共損失293人?！?/p>

直接求解上述微分方程組可以得到藍、紅雙方兵力隨時間變化的關(guān)系：

式中：t 表示戰(zhàn)斗時刻；m(t)，n(t)表示戰(zhàn)斗開始后在 t 時刻藍方、紅方在戰(zhàn)斗中剩存的戰(zhàn)斗單位數(shù)量；α，β 分別表示藍方、紅方在單位時間內(nèi)每一戰(zhàn)斗單位殺傷對方戰(zhàn)斗單位的比例，即戰(zhàn)斗力系數(shù)。

從這個方程中可以推導出：

即如雙方單個戰(zhàn)斗單位的平均戰(zhàn)斗力相等，即α=β ，上式就簡化成為 。當紅軍被全殲時，也就是 n(t)=0時，就有。

最后：

藍方兵力=A1=1000

紅方兵力=B1=B2=500

作戰(zhàn)效率=1

藍方戰(zhàn)斗力=藍方兵力×作戰(zhàn)效率=1000

紅方戰(zhàn)斗力=紅方兵力×作戰(zhàn)效率=500

單位時間=1

藍方集中1000人攻擊紅方500人，則根據(jù)公式可得

第一回合

藍方剩余兵力=√藍方戰(zhàn)斗力2-紅方戰(zhàn)斗力2=√750000≈866.02

第二回合

藍方剩余兵力=√499956≈707.07

由此我們可以看出，在兩軍對壘中如果武器裝備落后于對手4倍水平級別，則必須在兵力上增派至4倍兵力數(shù)方可抵消對手在裝備上造成的壓力。即當雙方的兵力總數(shù)逼近瓶頸時，裝備的優(yōu)劣是影響戰(zhàn)局的主要因素。

式中ch(·)、sh(·)為雙曲余弦函數(shù)與雙曲正弦函數(shù)。

線性律假定紅、藍兩軍各自使用武器(如火炮)對對方實施遠距離間接瞄準射擊，火力集中在已知對方戰(zhàn)斗單位的集結(jié)地區(qū)，該區(qū)域的大小與對方部隊的數(shù)量無關(guān)。此時一方的損傷率與對方向其開火的戰(zhàn)斗單位數(shù)量成正比，同時也與己方部隊在該防區(qū)內(nèi)的數(shù)量成正比。這時，可用下列微分方程組來描述雙方戰(zhàn)斗單位數(shù)量隨時間的變化：(t)、n(t)的含義同平方律。經(jīng)簡單推導可知交戰(zhàn)過程中雙方兵力符合下列狀態(tài)方程：

式中M、N 的意義同平方律。交戰(zhàn)雙方不分勝負的條 件為，如果,則藍方將首先被消滅。蘭徹斯特將上述關(guān)系概括為“在向面目標間接瞄準射擊的條件下，交戰(zhàn)一方的有效戰(zhàn)斗力正比于其戰(zhàn)斗單位數(shù)與該方每一戰(zhàn)斗單位的平均戰(zhàn)斗力的乘積”，并稱之為線性律。

冷兵器時代，戰(zhàn)斗形式通常是單兵之間一對一地進行格斗，戰(zhàn)斗的結(jié)局取決于雙方的格斗水平，藍、紅雙方的平均毀傷率取常數(shù)值，分別用α、β表示，交戰(zhàn)過程中雙方兵力的變化可用下列微分方程組來描述：

式中m(t)、n(t)的含義同平方律。此時交戰(zhàn)過程中雙方兵力之間符合的狀態(tài)方程與向面目標進行間瞄射擊時的線性律所描述的狀態(tài)方程完全相同。這種關(guān)系可概括為“在兵一對一格斗的條件下，交戰(zhàn)一方的有效戰(zhàn)斗力正比于其戰(zhàn)斗單位數(shù)與該方每一戰(zhàn)斗單位的平均戰(zhàn)斗力的乘積。”這便是描述冷兵器時代戰(zhàn)斗的線性律。

為加以區(qū)別，有時將描述使用冷兵器戰(zhàn)斗的線性律稱為“第一線性律”，而將描述使用火器向面目標進行間瞄射擊時的線性律稱為“第二線性律”。

擴充與推廣現(xiàn)代戰(zhàn)斗中所包含的各種復雜因素，遠遠超出了上述蘭徹斯特方程賴以建立的簡化了的假設(shè)條件。B.O.庫普曼等將雙方作戰(zhàn)單位數(shù)作為隨機變量，并運用馬爾可夫過程理論來描述交戰(zhàn)過程中出現(xiàn)的毀傷情況，從而得出隨機型蘭徹斯特方程。S.J.梯曲曼等從平方律、第二線性律的微分方程組中各取一式，以描述游擊戰(zhàn)中正規(guī)軍與游擊隊毀傷的情況，并由此得出“混合律”。S.邦德等研究了蘭徹斯特方程中毀傷率系數(shù)與敵對雙方的射擊狀態(tài)、武器戰(zhàn)術(shù)技術(shù)性能參數(shù)間的關(guān)系，從而建立了描述合成軍交戰(zhàn)并包含部隊增援與非戰(zhàn)斗毀傷等方面的廣義蘭徹斯特方程組。H.K.威斯等將戰(zhàn)術(shù)決策者所采用的策略作為決策參數(shù)納入蘭徹斯特方程， 并運用最優(yōu)化理論研究了 “最佳戰(zhàn)術(shù)決策”等方面的問題。J.H.恩格爾等曾運用歷史上一些著名戰(zhàn)斗中雙方傷亡的數(shù)據(jù)驗證過蘭徹斯特方程的正確性。

應(yīng)用不同信息條件下的空戰(zhàn)效能分析信息化條件下空戰(zhàn)效能，對不同信息條件下的空戰(zhàn)效能進行分析，建立了相對應(yīng)的蘭徹斯特方程。在運用蘭徹斯特方程分析的過程中，突出了不同信息條件對空戰(zhàn)效能的影響，分析結(jié)果顯示了信息優(yōu)勢是獲得空戰(zhàn)優(yōu)勢的關(guān)鍵性因素，并評估了信息因素對空戰(zhàn)進程的決定性作用。3

戰(zhàn)斗機超視距空戰(zhàn)隱身效能分析隨著軍事科技的進步，超視距空戰(zhàn)逐步成為了現(xiàn)代與未來空戰(zhàn)的主要戰(zhàn)斗方式。而隱身技術(shù)作為提高戰(zhàn)斗機空戰(zhàn)能力的主要手段之一，正被各國所關(guān)注?；谟绊憟D的蘭徹斯特微分方程對戰(zhàn)斗機在超視距空戰(zhàn)中的隱身效能進行了分析，計算了不同RCS下的戰(zhàn)斗機超視距空戰(zhàn)交換比，從而分析了戰(zhàn)斗機RCS對戰(zhàn)場走勢的影響。4

大區(qū)域防空作戰(zhàn)效能評估模型針對大區(qū)域防空參戰(zhàn)兵力多，體系結(jié)構(gòu)、交戰(zhàn)過程復雜的特點，引入作戰(zhàn)效能、戰(zhàn)斗編組、火力毀傷及任務(wù)分配等矩陣，建立了基于蘭徹斯特方程的大區(qū)域防空作戰(zhàn)效能評估模型，包括戰(zhàn)斗力指數(shù)、戰(zhàn)斗編組、毀傷指數(shù)、任務(wù)分配、指揮控制和作戰(zhàn)實力損耗等部分。每個模型的建立均通過設(shè)定相應(yīng)矩陣，分析戰(zhàn)斗力指數(shù)，得出其計算模型，并以相關(guān)抗擊率以及安全率表征總體效能指標，較好地解決了對大區(qū)域防空作戰(zhàn)效能的評估問題。模型簡潔，便于理解，易于計算。5

本詞條內(nèi)容貢獻者為:

王海俠 - 副教授 - 南京理工大學