[科普中國]-分段線性化法

簡介

把非線性特性曲線分成若干個區(qū)段，在每個區(qū)段中用直線段近似地代替特性曲線，這種處理方式稱為分段線性化。在分段線性化處理后，所研究的非線性系統(tǒng)在每一個區(qū)段上被近似等效為線性系統(tǒng)，就可采用線性系統(tǒng)的理論和方法來進(jìn)行分析。將各個區(qū)段的分析結(jié)果，如過渡過程曲線或相軌跡(見相平面法)，按時間的順序加以銜接，就是所研究非線性系統(tǒng)按分段線性化法分析得到的結(jié)果。

舉例說明分段線性化法的原理和分析步驟的一個例子是簡單非線性電路系統(tǒng)。電路由電阻R和鐵芯線圈L串接組成，通過開關(guān)接入一個直流電源。根據(jù)電路原理可知，描述這個電路在開關(guān)閉合后電流增長過程的運動方程是一個非線性微分方程： ，式中i表示電流,R表示電阻,L(i)表示鐵芯線圈的非線性電感,為i的函數(shù)。非線性電感可表示為 ，其中k為常數(shù),磁通φ和電流i之間的關(guān)系具有非線性特性。

電路的初始電流為i(0)=0，而在到達(dá)穩(wěn)態(tài)時電路的穩(wěn)態(tài)電流為I(∞)=E/R。在采用分段線性化法來分析時,先在電流值的有效區(qū)間[0,i(∞)]內(nèi)，將非線性特性分成N個區(qū)段，且在每個區(qū)段內(nèi)用直線近似代替曲線。

在定出每個直線段和水平線的交角θ0?、θ?、θ?后，可知相應(yīng)于每個區(qū)段的等效線性電感值為L?=K?tgθ?、L?=K?tgθ?和L?=K?tgθ?,其中K?、K?、K?為不同的常數(shù)。因此，在每一個區(qū)段,電路的運動方程都是線性的：

區(qū)段Ⅰ：;

區(qū)段Ⅱ：;

區(qū)段Ⅲ：。

這些線性微分方程可用線性分析方法求解，其分析結(jié)果為

區(qū)段Ⅰ：;

區(qū)段Ⅱ：;

區(qū)段Ⅲ：。

式中時間t1和t2的值可由區(qū)段Ⅰ和Ⅱ的電流表達(dá)式定出：。

這一非線性電路按分段線性化法分析的解就是三個區(qū)段內(nèi)的分析結(jié)果在時刻t1和t2上銜接所得到的運動過程。

分段線性化法的分析精度和計算復(fù)雜性取決于系統(tǒng)非線性程度的高低。對于具有折線形狀的非線性特性，如繼電型非線性和死區(qū)非線性（見描述函數(shù)法），分段線性化法不會引入分析誤差，且計算上也不會增加復(fù)雜性。對于非線性程度較低的系統(tǒng)，分段線性化法具有比較好的分析結(jié)果。對于非線性程度高的系統(tǒng)，原則上分段線性化法仍可適用，但計算復(fù)雜性增加，而分析準(zhǔn)確度則取決于線性化的區(qū)段數(shù)的多少。1