[科普中國(guó)]-高斯定理

定理內(nèi)容

設(shè)空間有界閉合區(qū)域 ，其邊界 為分片光滑閉曲面。函數(shù) 及其一階偏導(dǎo)數(shù)在 上連續(xù)，那么：1

或記作：

其中 的正側(cè)為外側(cè)， 為 的外法向量的方向余弦。

即矢量穿過任意閉合曲面的通量等于矢量的散度對(duì)閉合面所包圍的體積的積分。它給出了閉曲面積分和相應(yīng)體積分的積分變換關(guān)系，是矢量分析中的重要恒等式，也是研究場(chǎng)的重要公式之一。

物理應(yīng)用矢量分析高斯定理是矢量分析的重要定理之一。它可以被表述為：2

這式子與坐標(biāo)系的選取無(wú)關(guān)。

式中

稱向量場(chǎng) 的散度(divergence)。

靜電學(xué)定理指出：穿過一封閉曲面的電通量與封閉曲面所包圍的電荷量成正比：3

換一種說(shuō)法：電場(chǎng)強(qiáng)度在一封閉曲面上的面積分與封閉曲面所包圍的電荷量成正比。

（當(dāng)所涉體積內(nèi)電荷連續(xù)分布時(shí)，上式右端的求和應(yīng)變?yōu)榉e分。）

它表示，電場(chǎng)強(qiáng)度對(duì)任意封閉曲面的通量只取決于該封閉曲面內(nèi)電荷的代數(shù)和，與曲面內(nèi)電荷的位置分布情況無(wú)關(guān)，與封閉曲面外的電荷亦無(wú)關(guān)。在真空的情況下,Σq是包圍在封閉曲面內(nèi)的自由電荷的代數(shù)和。當(dāng)存在介質(zhì)時(shí),Σq應(yīng)理解為包圍在封閉曲面內(nèi)的自由電荷和極化電荷的總和。

高斯定理反映了靜電場(chǎng)是有源場(chǎng)這一特性。

高斯定理是從庫(kù)侖定律直接導(dǎo)出的，它完全依賴于電荷間作用力的平方反比律。把高斯定理應(yīng)用于處在靜電平衡條件下的金屬導(dǎo)體，就得到導(dǎo)體內(nèi)部無(wú)凈電荷的結(jié)論，因而測(cè)定導(dǎo)體內(nèi)部是否有凈電荷是檢驗(yàn)庫(kù)侖定律的重要方法。

當(dāng)空間中存在電介質(zhì)時(shí)，上式亦可以記作3

式中 為曲面內(nèi)自由電荷總量。

它說(shuō)明電位移對(duì)任意封閉曲面的通量只取決于曲面內(nèi)自由電荷的代數(shù)和 ，與自由電荷的分布情況無(wú)關(guān)，與極化電荷亦無(wú)關(guān)。電位移對(duì)任一面積的能量為電通量，因而電位移亦稱電通密度。對(duì)于各向同性的線性的電介質(zhì)，如果整個(gè)封閉曲面S在一均勻的相對(duì)介電常數(shù)為 的線性介質(zhì)中，則電位移與電場(chǎng)強(qiáng)度成正比， ，式中 稱為介質(zhì)的相對(duì)介電常數(shù)，這是一個(gè)無(wú)量綱的量。

更常遇到的是逆反問題。給定區(qū)域中電荷分布，所求量為在某位置的電場(chǎng)。這問題比較難解析。雖然知道穿過某一個(gè)閉合曲面的電通量，但這信息還不足以確定曲面上各點(diǎn)處的電場(chǎng)分布，在閉合曲面任意位置的電場(chǎng)可能會(huì)很復(fù)雜。僅有在體系具有較強(qiáng)對(duì)稱性的情況下，如均勻帶電球的電場(chǎng)、無(wú)限大均勻帶電面的電場(chǎng)以及無(wú)限長(zhǎng)均勻帶電圓柱的電場(chǎng)，使用高斯定理才會(huì)比使用疊加原理更簡(jiǎn)便4。

磁場(chǎng)磁場(chǎng)的高斯定理指出，無(wú)論對(duì)于穩(wěn)恒磁場(chǎng)還是時(shí)變磁場(chǎng)，總有：3

由于磁力線總是閉合曲線，因此任何一條進(jìn)入一個(gè)閉合曲面的磁力線必定會(huì)從曲面內(nèi)部出來(lái)，否則這條磁力線就不會(huì)閉合起來(lái)了。如果對(duì)于一個(gè)閉合曲面，定義向外為正法線的指向，則進(jìn)入曲面的磁通量為負(fù)，出來(lái)的磁通量為正，那么就可以得到通過一個(gè)閉合曲面的總磁通量為0。這個(gè)規(guī)律類似于電場(chǎng)中的高斯定理，因此也稱為高斯定理。

靜電場(chǎng)與磁場(chǎng)兩者有著本質(zhì)上的區(qū)別。在靜電場(chǎng)中，由于自然界中存在著獨(dú)立的電荷，所以電場(chǎng)線有起點(diǎn)和終點(diǎn)，只要閉合面內(nèi)有凈余的正（或負(fù)）電荷，穿過閉合面的電通量就不等于零，即靜電場(chǎng)是有源場(chǎng)；而在磁場(chǎng)中，由于自然界中沒有磁單極子存在，N極和S極是不能分離的，磁感線都是無(wú)頭無(wú)尾的閉合線，所以通過任何閉合面的磁通量必等于零。

高斯定理延伸高斯定理2(代數(shù)學(xué)基本定理)

定理：凡有理整方程 至少有一個(gè)根。

推論：一元n次方程

有且只有n個(gè)根（包括虛根和重根）。

高斯定理3(數(shù)論)

正整數(shù)n可被表示為兩整數(shù)平方和的充要條件1為n的一切形如4k+3形狀的質(zhì)因子的冪次均為偶數(shù)。