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[科普中國(guó)]-高斯定理

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定理內(nèi)容

設(shè)空間有界閉合區(qū)域 ,其邊界 為分片光滑閉曲面。函數(shù) 及其一階偏導(dǎo)數(shù)在 上連續(xù),那么:1

或記作:

其中 的正側(cè)為外側(cè), 的外法向量的方向余弦。

即矢量穿過任意閉合曲面的通量等于矢量的散度對(duì)閉合面所包圍的體積的積分。它給出了閉曲面積分和相應(yīng)體積分的積分變換關(guān)系,是矢量分析中的重要恒等式,也是研究場(chǎng)的重要公式之一。

物理應(yīng)用矢量分析高斯定理是矢量分析的重要定理之一。它可以被表述為:2

這式子與坐標(biāo)系的選取無(wú)關(guān)。

式中

稱向量場(chǎng) 的散度(divergence)。

靜電學(xué)定理指出:穿過一封閉曲面的電通量與封閉曲面所包圍的電荷量成正比:3

換一種說(shuō)法:電場(chǎng)強(qiáng)度在一封閉曲面上的面積分與封閉曲面所包圍的電荷量成正比。

(當(dāng)所涉體積內(nèi)電荷連續(xù)分布時(shí),上式右端的求和應(yīng)變?yōu)榉e分。)

它表示,電場(chǎng)強(qiáng)度對(duì)任意封閉曲面的通量只取決于該封閉曲面內(nèi)電荷的代數(shù)和,與曲面內(nèi)電荷的位置分布情況無(wú)關(guān),與封閉曲面外的電荷亦無(wú)關(guān)。在真空的情況下,Σq是包圍在封閉曲面內(nèi)的自由電荷的代數(shù)和。當(dāng)存在介質(zhì)時(shí),Σq應(yīng)理解為包圍在封閉曲面內(nèi)的自由電荷和極化電荷的總和。

高斯定理反映了靜電場(chǎng)是有源場(chǎng)這一特性。

高斯定理是從庫(kù)侖定律直接導(dǎo)出的,它完全依賴于電荷間作用力的平方反比律。把高斯定理應(yīng)用于處在靜電平衡條件下的金屬導(dǎo)體,就得到導(dǎo)體內(nèi)部無(wú)凈電荷的結(jié)論,因而測(cè)定導(dǎo)體內(nèi)部是否有凈電荷是檢驗(yàn)庫(kù)侖定律的重要方法。

當(dāng)空間中存在電介質(zhì)時(shí),上式亦可以記作3

式中 為曲面內(nèi)自由電荷總量。

它說(shuō)明電位移對(duì)任意封閉曲面的通量只取決于曲面內(nèi)自由電荷的代數(shù)和 ,與自由電荷的分布情況無(wú)關(guān),與極化電荷亦無(wú)關(guān)。電位移對(duì)任一面積的能量為電通量,因而電位移亦稱電通密度。對(duì)于各向同性的線性的電介質(zhì),如果整個(gè)封閉曲面S在一均勻的相對(duì)介電常數(shù)為 的線性介質(zhì)中,則電位移與電場(chǎng)強(qiáng)度成正比, ,式中 稱為介質(zhì)的相對(duì)介電常數(shù),這是一個(gè)無(wú)量綱的量。

更常遇到的是逆反問題。給定區(qū)域中電荷分布,所求量為在某位置的電場(chǎng)。這問題比較難解析。雖然知道穿過某一個(gè)閉合曲面的電通量,但這信息還不足以確定曲面上各點(diǎn)處的電場(chǎng)分布,在閉合曲面任意位置的電場(chǎng)可能會(huì)很復(fù)雜。僅有在體系具有較強(qiáng)對(duì)稱性的情況下,如均勻帶電球的電場(chǎng)、無(wú)限大均勻帶電面的電場(chǎng)以及無(wú)限長(zhǎng)均勻帶電圓柱的電場(chǎng),使用高斯定理才會(huì)比使用疊加原理更簡(jiǎn)便4。

磁場(chǎng)磁場(chǎng)的高斯定理指出,無(wú)論對(duì)于穩(wěn)恒磁場(chǎng)還是時(shí)變磁場(chǎng),總有:3

由于磁力線總是閉合曲線,因此任何一條進(jìn)入一個(gè)閉合曲面的磁力線必定會(huì)從曲面內(nèi)部出來(lái),否則這條磁力線就不會(huì)閉合起來(lái)了。如果對(duì)于一個(gè)閉合曲面,定義向外為正法線的指向,則進(jìn)入曲面的磁通量為負(fù),出來(lái)的磁通量為正,那么就可以得到通過一個(gè)閉合曲面的總磁通量為0。這個(gè)規(guī)律類似于電場(chǎng)中的高斯定理,因此也稱為高斯定理。

靜電場(chǎng)與磁場(chǎng)兩者有著本質(zhì)上的區(qū)別。在靜電場(chǎng)中,由于自然界中存在著獨(dú)立的電荷,所以電場(chǎng)線有起點(diǎn)和終點(diǎn),只要閉合面內(nèi)有凈余的正(或負(fù))電荷,穿過閉合面的電通量就不等于零,即靜電場(chǎng)是有源場(chǎng);而在磁場(chǎng)中,由于自然界中沒有磁單極子存在,N極和S極是不能分離的,磁感線都是無(wú)頭無(wú)尾的閉合線,所以通過任何閉合面的磁通量必等于零。

高斯定理延伸高斯定理2(代數(shù)學(xué)基本定理)

定理:凡有理整方程 至少有一個(gè)根。

推論:一元n次方程

有且只有n個(gè)根(包括虛根和重根)。

高斯定理3(數(shù)論)

正整數(shù)n可被表示為兩整數(shù)平方和的充要條件1為n的一切形如4k+3形狀的質(zhì)因子的冪次均為偶數(shù)。