[科普中國]-Burgers方程

簡介

伯格斯方程(Burgers equation) 是一個模擬沖擊波的傳播和反射的非線性偏微分方程。12

伯格斯方程是應(yīng)用數(shù)學(xué)的各個領(lǐng)域的基本偏微分方程，如流體力學(xué)，非線性聲學(xué)，氣體動力學(xué)。 它被用約翰內(nèi)斯·馬丁斯?jié)h堡（1895-1981）的名字命名。

對于給定的字段y（x，t）和擴(kuò)散系數(shù)（或粘度，如在原始流體力學(xué)上下文中）d，伯格斯方程也稱為粘性伯格斯方程）在一個空間維度是耗散系統(tǒng)：

增加時空噪聲形成隨機(jī)伯格斯方程3

伯格斯方程只適用于一個空間維度，Kardar-Parisi-Zhang方程則廣泛應(yīng)用于多個維度。

當(dāng)擴(kuò)散項不存在（即d = 0）時，伯格斯方程成為不粘伯格斯方程：

這是可以發(fā)展不連續(xù)性（沖擊波）的守恒方程的原型。 以前的方程式是伯格斯方程的“平流形式”。 “保護(hù)形式”是

求解不含伯格斯的方程;

無粘連的伯格斯方程是一個守恒方程，更一般地說是一階準(zhǔn)線性雙曲線方程。 事實上，通過將其電流密度定義為動能密度：

它可以放入電流密度均勻的形式：

保守方程的解可以通過特征方法構(gòu)建。 該方法產(chǎn)生如果X（t）是普通微分方程的解:

結(jié)論：，這是一個隱含的關(guān)系，決定了不含相關(guān)伯格斯方程式的解。 如果特征相交，則不存在PDE的經(jīng)典解決方案。

粘性伯格斯方程4：

粘性伯格斯方程可以通過Cole-Hopf變換線性化。

將其轉(zhuǎn)化為方程式，可以將其與x相集成，

其中f（t）是取決于邊界條件的函數(shù)。 如果f（t）= 0相同（例如，如果問題要在周期性域上解決），那么我們得到擴(kuò)散方程。

擴(kuò)散方程可以解決，Cole-Hopf變換反演，得到伯格斯方程的解：