[科普中國(guó)]-科學(xué)百科知識(shí)第6期丨什么是虛數(shù)？

本期為大家?guī)?lái)：

《你知道嗎——現(xiàn)代科學(xué)中的100個(gè)問(wèn)題》

本書是阿西莫夫的優(yōu)秀作品之一。 作者以通俗的語(yǔ)言，深入淺出地解釋了現(xiàn)代科學(xué)中的一百個(gè)尖端課題。 其中，有些是了解現(xiàn)代科學(xué)技術(shù)所必須具備的基礎(chǔ)知識(shí)，如科學(xué)的研究方法、二進(jìn)制數(shù)、相對(duì)論、亞原子粒子、核聚變、熵、晶體、病毒等。有些則是當(dāng)代科學(xué)技術(shù)的前沿陣地，如黑洞、統(tǒng)一場(chǎng)論、夸克、快子、金屬氫等。
作者對(duì)這些問(wèn)題的來(lái)龍去脈，它們目前處在什么樣的狀態(tài)、有沒(méi)有希望得到解決等問(wèn)題均作了回答。

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第六個(gè)問(wèn)題**： 什么是****虛數(shù)** ？

大多數(shù)人最為熟悉的數(shù)有兩種，即正數(shù)（＋５，＋１７．５）和負(fù)數(shù)（－５，－１７．５）。負(fù)數(shù)是在中世紀(jì)出現(xiàn)的，它用來(lái)處理３－５這類問(wèn)題。從古代人看來(lái)，要從三個(gè)蘋果中減去五個(gè)蘋果似乎是不可能的。但是，中世紀(jì)的商人卻已經(jīng)清楚地認(rèn)識(shí)到欠款的概念。“請(qǐng)你給我五個(gè)蘋果，可是我只有三個(gè)蘋果的錢，這樣我還欠你兩個(gè)蘋果的錢?！边@就等于說(shuō)：（＋３）－（＋５）＝（－２）。正數(shù)及負(fù)數(shù)可以根據(jù)某些嚴(yán)格的規(guī)則彼此相乘。正數(shù)乘正數(shù)，其乘積為正。正數(shù)乘負(fù)數(shù)，其乘積為負(fù)。**最重要的是，負(fù)數(shù)乘負(fù)數(shù)，其乘積為正。**因此，（＋１）×（＋１）＝（＋１）；（＋１）×（－１）＝（－１）；（－１）×（－１）＝（＋１）。**現(xiàn)在假定我們自問(wèn)：****什么數(shù)自乘將會(huì)得出＋１？**或者用數(shù)學(xué)語(yǔ)言來(lái)說(shuō)，＋１的平方根是多少？這一問(wèn)題有兩個(gè)答案。一個(gè)答案是＋１，因?yàn)椋ǎ保粒ǎ保剑ǎ保?；另一個(gè)答案則是－１，因?yàn)椋ǎ保粒ǎ保剑ǎ保?。?shù)學(xué)家是用√￣（＋１）＝±１來(lái)表示這一答案的。（注：（＋１）在根號(hào)下）現(xiàn)在讓我們進(jìn)一步提出這樣一個(gè)問(wèn)題：－１的平方根是多少？對(duì)于這個(gè)問(wèn)題，我們感到有點(diǎn)為難。答案不是＋１，因?yàn)椋钡淖猿耸牵?；答案也不是－１，因?yàn)椋钡淖猿送瑯邮牵?。?dāng)然，（＋１）×（－１）＝（－１），但這是兩個(gè)不同的數(shù)的相乘，而不是一個(gè)數(shù)的自乘。這樣，我們可以創(chuàng)造出一個(gè)數(shù)，并給它一個(gè)專門的符號(hào)，譬如說(shuō)＃１，而且給它以如下的定義：＃１是自乘時(shí)會(huì)得出－１的數(shù)，即（＃１）×（＃１）＝（－１）。當(dāng)這種想法剛提出來(lái)時(shí)，數(shù)學(xué)家都把這種數(shù)稱為“虛數(shù)”，這只是因?yàn)檫@種數(shù)在他們所習(xí)慣的數(shù)系中并不存在。**實(shí)際上，這種數(shù)一點(diǎn)也不比普通的“實(shí)數(shù)”更為虛幻。**這種所謂“虛數(shù)”具有一些嚴(yán)格限定的屬性，而且和一般實(shí)數(shù)一樣，也很容易處理。但是，正因?yàn)閿?shù)學(xué)家感到這種數(shù)多少有點(diǎn)虛幻，所以給這種數(shù)一個(gè)專門的符號(hào)“ｉ”(imaginary)。我們可以把正虛數(shù)寫為（＋ｉ），把負(fù)虛數(shù)寫為（－ｉ），而把＋１看作是一個(gè)正實(shí)數(shù)，把（－１）看作是一個(gè)負(fù)實(shí)數(shù)。因此我們可以說(shuō)√￣（－１）＝±ｉ。實(shí)數(shù)系統(tǒng)可以完全和虛數(shù)系統(tǒng)對(duì)應(yīng)。正如有＋５，－１７．３２，＋３／１０等實(shí)數(shù)一樣，我們也可以有＋５ｉ，－１７．３２ｉ，＋３ｉ／１０等虛數(shù)。**我們甚至還可以在作圖時(shí)把虛數(shù)系統(tǒng)畫出來(lái)。**假如你用一條以０點(diǎn)作為中點(diǎn)的直線來(lái)表示一個(gè)正實(shí)數(shù)系統(tǒng)，那么，位于０點(diǎn)某一側(cè)的是正實(shí)數(shù)，位于０點(diǎn)另一側(cè)的就是負(fù)實(shí)數(shù)。這樣，當(dāng)你通過(guò)０點(diǎn)再作一條與該直線直角相交的直線時(shí)，你便可以沿第二條直線把虛數(shù)系統(tǒng)表示出來(lái)。第二條直線上０點(diǎn)的一側(cè)的數(shù)是正虛數(shù)，０點(diǎn)另一側(cè)的數(shù)是負(fù)虛數(shù)。這樣一來(lái)，同時(shí)使用這兩種數(shù)系，就可以在這個(gè)平面上把所有的數(shù)都表示出來(lái)。例如（＋２）＋（＋３ｉ）或（＋３）＋（－２ｉ）。

這些數(shù)就是“復(fù)數(shù)”。
數(shù)學(xué)家和物理學(xué)家發(fā)現(xiàn)，把一個(gè)平面上的所有各點(diǎn)同數(shù)字系統(tǒng)彼此聯(lián)系起來(lái)是非常有用的。
如果沒(méi)有所謂虛數(shù)，他們就無(wú)法做到這一點(diǎn)了。