[科普中國]-高斯整數(shù)環(huán)

簡介

形如 的數(shù)稱為高斯整數(shù)，是高斯在研究二次不定方程時(shí)首先提出的。記 ，可以證明 關(guān)于數(shù)的加法和乘法做成交換環(huán)，我們稱之為高斯整數(shù)環(huán)。另外，將高斯整數(shù)環(huán)推廣到 的情形，稱為高斯整數(shù)環(huán)的推廣環(huán)。2

高斯整數(shù)環(huán)是一種構(gòu)造特殊且具有一定代表性的環(huán) ，在代數(shù)環(huán)論中占有重要的地位 。既融入了環(huán)論的思想，同時(shí)亦包含有數(shù)論的思想，對于高斯整數(shù)環(huán)的研究一直是國內(nèi)外學(xué)者的重要課題之一，數(shù)學(xué)家們通過多年的研究，得出了許多重要且富有意義的結(jié)論。3

基本性質(zhì)（1）高斯整數(shù)環(huán)是歐幾里德整環(huán)。

（2）高斯整數(shù)環(huán)是主理想整環(huán)。

（3）高斯整數(shù)環(huán)是唯一因式分解整環(huán)R，滿足下列兩個(gè)條件：

①因子鏈條件成立 ，即如果序列中 ，每一個(gè) 是 的真因子，則這個(gè)序列是有限序列；

②每一個(gè)不可約元都是素元，則R是唯一因式分解整環(huán)。3

高斯整數(shù)環(huán)中素元的形成Z[i]中的單位 中的單位只有±1，±i 四個(gè)元素。3

Z[i]中的素元 中的素元當(dāng)且僅當(dāng)是不可約元。3

Z[i]中的整數(shù)素元對于環(huán) Z[i]，它的元素可分為兩部分，一部分是整數(shù)，另一部分是形如 a+bi（b≠0）的元素。首先討論整數(shù)集 Z中的素元。Z 中的非素?cái)?shù)肯定不是 Z[i]中的素元 ，因?yàn)?Z[i]中的素元要求除本身及單位外無其他因子，故只有素?cái)?shù)才可能是 Z[i]中的素元。但并非 Z中的一切素?cái)?shù)都是 Z[i]中的素元，例如素?cái)?shù) 2在Z[i]中可分解為 ，1±i 都不是 2的相伴元，顯然它不是 Z[i]中的素元。一般的，除 2外，其他素?cái)?shù)都可以寫成 4n+1 與4n+3 的形式，有如下定理：

（1）有理素?cái)?shù) p為Z[i]中素元的充分必要條件是方程 x2+y2=p 沒有整數(shù)解。

（2）形為 4n+1 類的素?cái)?shù)為 Z[i]的非素元。3

Z[i]中的非整數(shù)素元（1）設(shè) α∈Z[i]，若φ（α）為素?cái)?shù)，則 α為Z[i]中的素元。

（2）若為素?cái)?shù)，則

①若 n=1，則α 為Z[i]中的素元；

②若 n>1，則α 為Z[i]中的非素元；3