[科普中國]-高斯-盧卡斯定理

高斯-盧卡斯定理，又稱盧卡斯定理，該定理描述了復(fù)系數(shù)多項式的一個性質(zhì)：多項式導(dǎo)數(shù)的根一定在原多項式的根所構(gòu)成的凸包內(nèi)。

這一結(jié)論曾在1836被Carl Friedrich Gauss直接使用，1874 得到證明。

動機我們注意到，二次多項式 的導(dǎo)數(shù)的根為原多項式的兩個根的平均數(shù)。

同樣地，如果一個次多項式有個兩兩不同的實值零點，根據(jù)羅爾定理，其導(dǎo)數(shù)的每個零點都位于區(qū)間之中。

高斯-盧卡斯定理可以看成這一性質(zhì)在復(fù)系數(shù)多項式上的推廣。

表述設(shè) 是一個非常數(shù)的復(fù)系數(shù)多項式，那么所有的根屬于的根構(gòu)成的凸包。

證明將多項式函數(shù)P寫成復(fù)數(shù)下的不可約形式： ，其中復(fù)數(shù)是多項式的主系數(shù)、是多項式的根、 為各個根的重數(shù)1。

首先注意到：

假設(shè)復(fù)數(shù)滿足：

因此：

乘以共軛取模：

寫成如下形式：

此時，我們可以將看成是個位于的質(zhì)點的重心，因此在其構(gòu)成的凸包內(nèi)。

另一種情況下的證明是顯然的。

本詞條內(nèi)容貢獻者為:

胡建平 - 副教授 - 西北工業(yè)大學(xué)