[科普中國]-廣義高斯-格林公式

廣義高斯-格林公式（廣義高斯-格林公式）是一般高斯-格林公式在測度積分形式下的推廣。

簡介廣義高斯-格林公式是一般高斯-格林公式在測度積分形式下的推廣。

高斯-格林公式利用密度概念可以定義的另一個重要概念是集合在一點(diǎn)處的外法線，當(dāng)所論集合有光滑邊界時，這個概念很直觀，在一般情形則較為復(fù)雜。給定點(diǎn)集Q與測度v，可以定義一個新的測度v∟Q如下：對于集合G，規(guī)定G關(guān)于v∟Q的測度v∟Q(G)=v(Q∩G)。因此，Rn中集合A在一點(diǎn)b處的外法向量是如下定義的一個單位向量u=n(A,b)，它使得對于

有

定義上述概念只含點(diǎn)集A關(guān)于μn的測度性質(zhì)，而不需要預(yù)先知道A的幾何性質(zhì)，甚至連邊界的概念也未提到，鑒于這樣廣義的概念，使人們可將古典的高斯-格林公式推廣到相當(dāng)一般的形式：設(shè)A為Rn中的子集，

如果對于每個緊集，則對于Rn上每個有緊支集的李普希茨一階向量場ξ，有

此處表示內(nèi)積。

另一方面，若以Bd A記A的普通邊界，則當(dāng)對于Rn中的每個緊集K，都有時，上述條件滿足，從而上述廣義高斯-格林定理成立。1

測度數(shù)學(xué)上，測度（Measure）是一個函數(shù)，它對一個給定集合的某些子集指定一個數(shù)，這個數(shù)可以比作大小、體積、概率等等。傳統(tǒng)的積分是在區(qū)間上進(jìn)行的，后來人們希望把積分推廣到任意的集合上，就發(fā)展出測度的概念，它在數(shù)學(xué)分析和概率論有重要的地位。

**定義1：**構(gòu)造一個集函數(shù)，它能賦予實(shí)數(shù)集簇М中的每一個集合E一個非負(fù)擴(kuò)充實(shí)數(shù)mE。我們將此集函數(shù)稱為E的測度。

**定義2：設(shè)Γ是集合X上一σ代數(shù)，ρ ：Γ →R∪{ +∽ }**是一集合函數(shù)，且ρ滿足：

（1）（非負(fù)性）對任意的A∈Γ，有ρ(A)≧0;

（2）（規(guī)范性）ρ(Φ) = 0；

（3）（完全可加性） 對任意的一列兩兩不交集合A1，A2，……，An，……有ρ(∪n An)=∑n ρ（An）

則稱ρ是定義在X上的一個測度，Γ中的集合是可測集，不在Γ中的集合是不可測集。特別的，若ρ(X) = 1 ，則稱ρ為概率測度。

本詞條內(nèi)容貢獻(xiàn)者為:

李華青 - 副教授 - 西南大學(xué)電子信息工程學(xué)院