西爾維斯特方程(Sylvester equation)是控制理論中的矩陣方程。
定義西爾維斯特方程(Sylvester equation)是控制理論中的矩陣方程,形式如下:
其中A、B及C是已知的矩陣,問題是要找出符合條件的X。其中所有矩陣的系數(shù)都是復數(shù)。為了要使方程成立,矩陣的行和列需要滿足一定條件,A和B都要是方陣,大小分別是n和m,而X和C要是n行m列的矩陣,n和m也可以相等,四個矩陣都是大小相同的方陣。
西爾維斯特方程有唯一解X的充份必要條件是A和-B沒有共同的特征值。
AX+XB=C也可以視為是(可能無窮維中)巴拿赫空間中有界算子的方程。此情形下,唯一解X的充份必要條件幾乎相同:唯一解X的充份必要條件是A和-B的譜互為不交集。1
解的存在及唯一 利用克羅內(nèi)克積以及向量化量子,可以改寫西爾維斯特方程為
其中 為 單位矩陣。在此形式下,可以將問題改為 維的線性系統(tǒng)。
命題
假定復數(shù)的 矩陣 和 ,西爾維斯特方程針對任意 有唯一解,若且唯 若 和 沒有共同的特征值。
證明
考慮線性轉(zhuǎn)換 ,
(i)假設(shè) 和 沒有共同的特征值,則其特征方程式 和 的最大公因式為 ,因此存在復數(shù)多項式 和 ,使得 。依照Cayley–Hamilton定理, ;因此 。令 為 的解,則 ,重復上述作法,可得 。因此依照秩-零化度定理, 是可逆的,因此針對所有的 都存在唯一的解 。
(ii) 相對的,若假設(shè) 是 和 的共同特征值,則 也是 的特征值。存在非零向量 和 使得 以及 。選擇 使得 ,向量的元素是 的共軛復數(shù),則 沒有解 ,因為復數(shù)的雙線性pairing ,等號的右邊為正值,而左側(cè)為零。2
Roth消去法則假設(shè)二個大小分別為n和m的方陣A和B,以及大小為n乘m的矩陣C,則可以確認以下二個大小為n+m的方陣 和
是否彼此相似。這二個矩陣相似的條件是存在一矩陣X使得AX-XB=C,換句話說,X為西爾維斯特方程的解,這稱為Roth消去法則(Roth's removal rule)。
可以用以下方式檢查,若AX-XB=C,則
Roth消去法則無法延伸到巴拿赫空間中的無窮維有界算子中。1
數(shù)值解西爾維斯特方程數(shù)值解的經(jīng)典算法是Bartels–Stewart算法,利用QR算法將矩陣 和矩陣 轉(zhuǎn)換為舒爾形式,再用逆向取代法求解三角矩陣。此算法若用LAPACK計算,或是GNU Octave的lyap函數(shù)計算,計算復雜度是 個數(shù)學運算。也可以參考其中的sylvester函數(shù)。在一些特定的影像處理應用中,西爾維斯特方程會有解析解。2
本詞條內(nèi)容貢獻者為:
李斌 - 副教授 - 西南大學