黑體輻射、對(duì)應(yīng)原理與零點(diǎn)能——普朗克老師的一箭三雕

撰文 | 曹則賢（中國(guó)科學(xué)院物理研究所研究員）

所有學(xué)物理的人，按說都知道柏林大學(xué)教熱力學(xué)的普朗克老師 (Max Planck, 1858-1947) 。普朗克老師上大學(xué)時(shí)學(xué)物理不是為了將來有什么成就，他說他就是想學(xué)懂物理，結(jié)果他還真做到了——經(jīng)典力學(xué)、電動(dòng)力學(xué)和熱力學(xué)，普朗克老師是全吃透了其精髓。普朗克老師學(xué)習(xí)物理肯定是下了狠功夫的，學(xué)物理掉頭發(fā)的?？赡芫褪莵碜运先思?(圖1) 。普朗克老師是相對(duì)論的奠基人，是熱力學(xué)的拓展者，是統(tǒng)計(jì)力學(xué)的反對(duì)者和擁護(hù)者。

普朗克老師是相對(duì)論的奠基人，在于他1906年就跟上了相對(duì)論研究，第一個(gè)寫出了質(zhì)能方程 E=mc^2，培養(yǎng)了第一個(gè)相對(duì)論專業(yè)的博士。此外，他還是第一個(gè)派助手勞厄 (Max von Laue，1879-1960. 勞厄也是相對(duì)論奠基人之一) 去看望那個(gè)窮困潦倒的年輕人愛因斯坦的，普朗克因此有愛因斯坦學(xué)術(shù)監(jiān)護(hù)人的說法，后來還和愛因斯坦于1929年共同獲得了第一屆普朗克獎(jiǎng) (獲得用自己名字命名的大獎(jiǎng)，不亦樂呵呵乎！ ) (圖2)。

圖1. 青年普朗克與普朗克老師

圖2. 普朗克老師和愛因斯坦一起獲首屆普朗克獎(jiǎng)(1929)

普朗克是量子論的先驅(qū)，但似乎不能算是量子力學(xué)的奠基人。在1900年的文章 [M. Planck, Zur Theorie des Gesetzes der Energieverteilung im Normalspectrum (標(biāo)準(zhǔn)譜能量分布律理論)，Verhandlungen der Deutschen Physikalischen Gesellschaft 2，237–245(1900)] 中，普朗克用能量量子假設(shè) ε=hν 再次得到了他在此前一篇文章 [M. Planck, über eine Verbesserung der Wien'schen Spectralgleichung (維恩譜方程的改進(jìn)), Verhandlungen der Deutschen Physikalischen Gesellschaft 2, 202–204(1900)] 中得到的黑體輻射譜分布公式，即所謂的普朗克分布公式，

普朗克的這篇文章被當(dāng)作量子論的開端，愚以為這與科學(xué)史的事實(shí)不符——玻爾茲曼1877年就引入了動(dòng)能量子化得到了氣體的麥克斯韋分布公式，而量子化說到底還是回到了1854年黎曼引入quanta一詞時(shí)的本義，即幾何量子化。后來普朗克在其1913年的熱力學(xué)教程第二版中闡述了這一點(diǎn)，結(jié)果被印度青年玻色給讀懂了。在此后十余年的時(shí)間里，普朗克對(duì)待能量量子的態(tài)度同愛因斯坦等人的態(tài)度截然相反，可以說他并不期待一個(gè)所謂的量子理論而只是希望在新的物理理論中，作用量子h，普朗克嘴里的Wirkungsquantum，危害小點(diǎn)兒就好。當(dāng)然了，普朗克本人是一直在思考量子與黑體輻射問題的，他稱自己那些年里的所作所為是絕望行動(dòng) (Akt der Verzweiflung) 。

然而，在1911年底，普朗克提交了當(dāng)前的這篇論文 [Max Planck, über die Begründung des Gesetzes der schwarzen Strahlumg, Annalen der Physik 37, 642-656(1912). 譯文全文“黑體輻射定律的依據(jù)”將發(fā)表在《物理》雜志2020年第6期上] ，在一個(gè)新的振子發(fā)射機(jī)理的基礎(chǔ)上，普朗克再次得到了黑體輻射公式，這是普朗克自己的第三種黑體輻射公式推導(dǎo)方式，也是繼愛因斯坦在1906年, 1907年和1910年，洛倫茲在1908年，德拜在1910年，艾倫菲斯特在1911年各種花式推導(dǎo)黑體輻射公式后的新嘗試。這篇文章絕對(duì)是物理學(xué)史上里程碑式的存在。在這篇文章中，普朗克不僅再次如愿以償?shù)氐玫搅撕隗w輻射公式，關(guān)鍵是他還第一次使用了對(duì)應(yīng)原理 (這是后來構(gòu)建量子理論時(shí)會(huì)頻繁用到的一種方法，比如狄拉克就成功地用這個(gè)原理導(dǎo)出了量子化條件

) ，還第一次導(dǎo)出了振子的零點(diǎn)能，?hν。也就是說，普朗克老師在這篇文章中完成了物理學(xué)概念層面上的一箭三雕。就筆者所知，這應(yīng)該算是絕無僅有的了，我不知道物理史上還有哪個(gè)單篇有如此高的成就。

如果要推舉近代物理史上前三個(gè)重要概念，我估計(jì)結(jié)果會(huì)是沒結(jié)果，眾說紛紜是必然的。但如果說黑體輻射、對(duì)應(yīng)原理與零點(diǎn)能都是近代物理中重要的基礎(chǔ)概念，恐怕有異議的人不多。雖然，中文關(guān)于黑體輻射的介紹常常是熱力學(xué)、統(tǒng)計(jì)力學(xué)、光學(xué)或者量子力學(xué)教科書中的三言兩語，這反映的是作者的輕蔑而絲毫不影響黑體輻射是近代物理搖籃的地位，其博大精深是鮮有其匹的。黑體輻射的推導(dǎo)除了前述幾種推導(dǎo)以外，后來還有愛因斯坦1917年，泡利1923年，玻色1924年以及基于廣義相對(duì)論的多種推導(dǎo)，導(dǎo)出了受激輻射、散射理論、量子統(tǒng)計(jì)等概念甚至嶄新的物理領(lǐng)域 [參見曹則賢，黑體輻射公式的多種推導(dǎo)以及在近代物理構(gòu)建中的意義，待發(fā)表] ?，F(xiàn)在，讓我們仔細(xì)學(xué)習(xí)普朗克老師的這篇論文，看看他是如何做到一箭三雕的。普朗克在這篇文章中的各種驚艷操作是否合理、妙處何在，讀者諸君請(qǐng)自行體會(huì)。

本文的神奇之處在于對(duì)具有一定能量的振子如何發(fā)射電磁輻射的假設(shè)。普朗克假設(shè)，振子只在其能量達(dá)到能量單元 ε=hν 的整數(shù)倍 nhν 時(shí)才會(huì)發(fā)射輻射，具體的因果性發(fā)射機(jī)制不知道，但發(fā)射以隨機(jī)的方式進(jìn)行：發(fā)射的概率為 η，不發(fā)射而后繼續(xù)吸收能量的幾率為1-η。也就是說，每一次當(dāng)振子的能量 U 為 U=nhν 時(shí)，其將全部能量 U 發(fā)射出去的事件就可能發(fā)生，概率為 η，發(fā)射后振子回到靜止?fàn)顟B(tài)開始下一輪的能量積聚。普朗克進(jìn)一步地制定了振子的發(fā)射規(guī)則，其不發(fā)射的概率相對(duì)于發(fā)射的概率之比正比于激勵(lì)振子的那個(gè)外部振動(dòng)的強(qiáng)度，J, 即

其中的 ?ε 是在有第一次發(fā)射機(jī)會(huì)前振子的平均能量，(n+?)ε 是經(jīng)歷了n次發(fā)射機(jī)會(huì)但從未發(fā)射的振子的平均能量。注意，這里的這個(gè)?是作為從0到1的均勻分布 (等測(cè)度) 之平均值的面目出現(xiàn)的。這個(gè)?，相較于后來人們恣意發(fā)揮的、怪力亂神式的零點(diǎn)能概念，非常好理解，也容易接受。

如上，在給定強(qiáng)度的穩(wěn)恒輻射場(chǎng)中的N個(gè)相同振子組成之系統(tǒng)的能量分布，就這樣唯一地決定了。接下來，就能以熟知的方式計(jì)算系統(tǒng)的熵和溫度了。首先，系統(tǒng)的熵為

按照普朗克老師對(duì)待 h 的態(tài)度，我估計(jì)他接下來怎么也要想辦法“掰扯掰扯”這個(gè)莫名其妙的 hν。然而，沒等他來得及擺脫或者至少再論這個(gè)?，愛因斯坦和Otto Stern (Stern-Gerlach實(shí)驗(yàn)中的那位) 在1913年就拿這個(gè)零點(diǎn)能的概念迅速解釋了氫低溫比熱的實(shí)驗(yàn)結(jié)果 [A. Einstein and O. Stern, Einige Argumente für die Annahme einer molecular Agitation beim absoluten Nullpunkt (關(guān)于絕對(duì)零點(diǎn)下分子激勵(lì)假設(shè)的討論), Ann. Phys.(4) 40, 551 (1913)] 。注意，愛因斯坦的這個(gè)零點(diǎn)，Nullpunkt，指的是那個(gè)永遠(yuǎn)達(dá)不到的絕對(duì)溫度的零點(diǎn)。奇怪的是，愛因斯坦的原文中不僅有振子能量

普朗克老師這樣一箭三雕的推導(dǎo)，怕是再也不會(huì)有了。

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